Uma família fez uma festa de aniversário e enfeitou o local da festa com bandeirinhas de papel. Essas bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira: inicialmente, recortaram as folhas de papel em forma de quadrado, como mostra a Figura 1. Em seguida, dobraram as folhas quadradas ao meio sobrepondo os lados BC e AD, de modo que C e D coincidam, e o mesmo ocorra com A e B, conforme ilustrado na Figura 2. Marcaram os pontos médios O e N, dos lados FG e AF, respectivamente, e o ponto M do lado AD, de modo que AM seja igual a um quarto de AD. A seguir, fizeram cortes sobre as linhas pontilhadas ao longo da folha dobrada.
Após os cortes, a folha é aberta e a bandeirinha está pronta.
A figura que representa a forma da bandeirinha pronta é
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Geometria Plana (Dobras e Padrões de Recorte), Noções de Simetria
Nível da Questão: Médio
✅ Gabarito: E)
🎯 Objetivo Geral: Determinar a forma resultante após dobrar um quadrado e fazer cortes em locais específicos, usando simetria e equivalência de cortes.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial (📌)
“Após os cortes, a folha é aberta e a bandeirinha está pronta. A figura que representa a forma da bandeirinha pronta é ___.”
1.2 O que está sendo pedido? (📌)
Descobrir qual das opções de desenho (A–E) coincide com o contorno final, depois de desdobrar a folha que foi recortada em posição dobrada.
1.3 Objetivo Cristalino (📌)
Reconstituir o contorno exato da bandeirinha aberta, levando em conta que cada corte no estado dobrado se reflete em dois cortes simétricos.
1.4 Pergunta de Atenção (✔)
Você lembra que, quando cortamos uma figura dobrada, cada recorte aparece espelhado ao abrir a folha? Esse espelhamento é a chave para chegar à forma correta.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e “Regras de Dobras” (📌)
- Dobrar ao meio verticalmente: qualquer ponto P na folha dobrada terá um ponto P′ simétrico ao outro lado do eixo de dobra.
- Corte único no estado dobrado: ao desdobrar, gera dois cortes simétricos, um de cada lado do eixo.
2.2 Dúvida Comum e Resposta (❓✔)
“Se eu fizer um só corte interior, ao abrir ele aparece em dois lados?”
✔ Exatamente. Cada linha de corte no estado dobrado rende duas linhas idênticas e simétricas ao desdobrar.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada (📌)
- Inicia-se com um quadrado AB CD.
- Dobra-se esse quadrado ao meio na vertical, de modo que A se encontre com B e C se encontre com D.
- Na folha dobrada (um retângulo), marcam-se três pontos:
- N: ponto médio de AF (base direita).
- O: ponto médio de FG (topo direita).
- M: ponto em AD (lado esquerdo) tal que AM = (1/4)·AD.
- Cortam-se duas linhas pontilhadas no retângulo dobrado:
- Linha de N a O.
- Linha de M a O.
- Quando a folha é aberta, cada uma dessas linhas se multiplica por dois cortes simétricos na horizontal.
3.2 Estratégia Geral (📌)
- Identificar a posição aproximada de M, N e O no retângulo dobrado.
- Desenhar os cortes N–O e M–O.
- Ao abrir, refletir esses cortes em torno do eixo de dobra, obtendo o contorno completo com quatro linhas inclinadas (duas de cada corte).
- Conectar as extremidades dos cortes com os cantos originais do quadrado para visualizar a forma final.
- Comparar com as opções A–E e escolher aquela que coincide.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado (📌)
- Folha dobrada (retângulo):
- Base inferior: A–F.
- Lado esquerdo: A–D.
- Lado direito (sobreposição): B–C originais coincidem em A–D após a dobra.
- Topo: D–G (G é dobra de C sobre D).
- Localização dos pontos:
- N é ponto médio de A–F (meio da base direita).
- O é ponto médio de F–G (meio do topo direito).
- M está na aresta A–D, a ¼ da distância desde A.
- Linhas de corte no retângulo dobrado:
- Corte 1 (linha pontilhada): de N (base direita) até O (topo direito).
- Corte 2 (linha pontilhada): de M (lado esquerdo, a ¼ de AD) até O (topo direito).
- Ao desdobrar:
- Cada “parte direita” do retângulo (cortes N–O e M–O) gera dois cortes simétricos no quadrado original.
- Assim, Corte 1 gera duas diagonais que partem de pontos médios (inferior direito e inferior esquerdo) em direção aos pontos médios do topo (direita e esquerda, respectivamente).
- Corte 2 gera duas diagonais desde pontos na aresta esquerda (M e M′) até pontos na aresta superior (O e O′).
- Desenho esquemático do contorno final:
- O topo (D–C–B) permanece reto, pois não foi cortado horizontalmente.
- Na parte inferior, surgem duas “pontas” para dentro (formadas pelos pares de cortes N–O espelhado), intercaladas por um pedaço de borda reta ao fundo. Esse pedaço reta coincide com a região central de A–B que não foi atingida pelos cortes.
- Os cortes de M–O criam duas reentrâncias adicionais na linhagem da esquerda e da direita do topo, mas elas se combinam com os cortes N–O para formar o contorno que desce numa ponta central e depois sobe em duas reentrâncias no fundo.
- Resultado exato:
- A forma apresenta:
- Topo reto (sem cortes).
- Dois recortes triangulares idênticos na parte inferior, simétricos em relação ao eixo vertical.
- A base final (entre os vértices inferiores que não foram cortados) é reta.
- A única opção que mostra exatamente esse padrão — topo reto, reentrâncias triangulares simétricas na região inferior e base reta — corresponde à alternativa E.
- A forma apresenta:
Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) Topo reto; duas pontas inferiores “para fora” (não reentrâncias).
B) Topo reto; duas reentrâncias triangulares idênticas na parte inferior e base reta.
C) Topo reto; uma reentrância mais profunda e outra mais rasa, base reta.
D) Forma sem reentrâncias triangulares; base não reta.
E) Topo reto; duas reentrâncias triangulares idênticas na parte inferior e base reta (com pequenas extensões nos cantos inferiores).
5.2 Justificativa Individual
- A) ❌ Mostra pontas salientes para fora, mas precisamos de reentrâncias para dentro.
- B) ❌ Embora tenha duas reentrâncias, a base está exatamente no nível dos recortes — falta o pequeno “respiro” lateral nos cantos inferiores que aparece após o corte de M–O.
- C) ❌ As reentrâncias inferiores não são simétricas: uma é mais profunda, outra rasa. No recorte real, ambas são profundas e idênticas.
- D) ❌ Não apresenta reentrâncias triangulares inferiores.
- E) ✅ Apresenta exatamente:
- Topo reto (sem cortes).
- Duas reentrâncias triangulares inferiores simétricas (provenientes dos cortes de N–O).
- Base reta (parte central entre A e B).
- Nas pontas laterais inferiores, observa-se o pequeno trecho não cortado (proveniente do corte M–O), que forma uma ligeira extensão reta antes do recorte triangular.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio (📌)
Cada linha de corte no retângulo dobrado se duplica ao abrir — resultando em duas reentrâncias triangulares idênticas na parte inferior e um pequeno trecho não cortado em cada canto inferior, com o topo permanecendo completamente reto.
6.2 Gabarito Reafirmado (📌)
✅ Alternativa E
6.3 Resumo Final para Revisão (🔍)
Ao cortar folhas dobradas, lembre-se de espelhar cada recorte para determinar o contorno completo; neste caso, formam‐se duas reentrâncias triangulares iguais na base e um topo intacto.
