Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado.
Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas.
Use 3 como valor aproximado para π.
A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a
A) 168.
B) 304.
C) 306.
D) 378.
E) 514.
Resolução em texto
✍ Resolução Em Texto
Olá! Vamos desvendar juntos essa questão de geometria espacial que nos desafia a calcular o volume de uma pílula com um formato interessante. É um ótimo exercício para aplicar as fórmulas de volume que aprendemos.
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volume do Cilindro e da Esfera)
- Álgebra (Aplicação de Fórmulas)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo de volume de sólidos compostos e análise de sua variação.
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque envolve o cálculo do volume de um sólido composto (cilindro + esfera), exige a aplicação de fórmulas específicas duas vezes (uma para cada raio) e, por fim, o cálculo de uma diferença. A chance de erro em uma das etapas (especialmente na fórmula do volume da esfera ou na soma das partes) torna a questão mais complexa que um simples cálculo de volume.
✅ Gabarito: E
- A alternativa está correta pois representa a diferença exata entre o volume da pílula com raio 5 mm (1250 mm³) e o volume da pílula com raio 4 mm (736 mm³).
📖 Resolução Passo a Passo
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para calcularmos a diferença de volume, em mm³, entre a pílula original (maior) e a nova pílula (menor).
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é calcular Volume_antigo – Volume_novo.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você percebeu que a pílula não é só um cilindro? Ela tem duas “tampas” de semiesfera nas pontas. Juntas, essas duas metades formam uma esfera completa! Essa observação simplifica muito o nosso cálculo.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, precisamos de três coisas: a geometria da pílula e as fórmulas de volume do cilindro e da esfera.
- 1. Geometria da Pílula (Sólido Composto):
- A pílula é formada por um cilindro central e duas semiesferas nas extremidades.
- Como as duas semiesferas têm o mesmo raio, podemos juntá-las para formar uma esfera completa.
- Portanto: Volume da Pílula = Volume do Cilindro + Volume da Esfera
- 2. Fórmulas de Volume:
- Volume do Cilindro: V_cilindro = Área da Base × Altura = πr²h
- Volume da Esfera: V_esfera = (4/3)πr³
- 3. Dados do Problema:
- Comprimento do cilindro (h): sempre 10 mm.
- Valor aproximado de π: 3.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Pense na pílula como um brinquedo de montar: uma peça cilíndrica no meio e duas meias-bolas, uma em cada ponta. O problema nos dá as medidas para montar essa pílula em dois tamanhos diferentes (uma maior com raio 5 e uma menor com raio 4) e pede para a gente calcular o quanto de “material” (volume) foi economizado ao fazer a versão menor.
3.2 Estratégia Geral 📌
O nosso plano de ataque será:
- Calcular o volume total da pílula antiga (com raio de 5 mm).
- Calcular o volume total da pílula nova (com raio de 4 mm).
- Subtrair o volume novo do antigo para encontrar a redução.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos aplicar nossa estratégia, um cálculo de cada vez.
- Cálculo 1: Volume da Pílula Antiga (raio r = 5 mm)
- V_antigo = V_cilindro + V_esfera
- V_antigo = (πr²h) + (4/3 πr³)
- Substituindo os valores: r=5, h=10, π=3.
- V_antigo = (3 × 5² × 10) + (4/3 × 3 × 5³)
- Vamos simplificar (o 3 do π corta com o /3 da fórmula da esfera):
- V_antigo = (3 × 25 × 10) + (4 × 125)
- V_antigo = 750 + 500
- V_antigo = 1250 mm³
- Cálculo 2: Volume da Pílula Nova (raio r = 4 mm)
- V_novo = V_cilindro + V_esfera
- V_novo = (πr²h) + (4/3 πr³)
- Substituindo os valores: r=4, h=10, π=3.
- V_novo = (3 × 4² × 10) + (4/3 × 3 × 4³)
- Simplificando novamente:
- V_novo = (3 × 16 × 10) + (4 × 64)
- V_novo = 480 + 256
- V_novo = 736 mm³
- Cálculo 3: A Redução do Volume
- Redução = Volume Antigo – Volume Novo
- Redução = 1250 – 736
- Redução = 514 mm³
4.2 Verificação Intermediária 📌
A pílula nova é menor, então seu volume (736 mm³) é, de fato, menor que o da antiga (1250 mm³), o que faz sentido. O cálculo da diferença resultou em 514 mm³.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
Existem algumas armadilhas possíveis:
- Esquecer uma parte: Calcular apenas o volume do cilindro ou apenas o da esfera.
- Usar a fórmula errada: Trocar a fórmula do volume da esfera pela da área, por exemplo.
- Confundir os expoentes: Usar r² na fórmula da esfera ou r³ na do cilindro.
- Calcular apenas uma semiesfera: Esquecer que são duas “tampas”, uma em cada ponta.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo detalhado nos levou a uma redução de volume de 514 mm³. Agora, vamos confirmar essa resposta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 168.
B) 304.
C) 306.
D) 378.
E) 514.
5.2 Justificativa Individual
- A), B), C), D) (🔴) Incorretas. Esses valores seriam resultados de possíveis erros de cálculo, como os mencionados na seção de armadilhas (por exemplo, esquecer uma parte do sólido ou trocar as fórmulas).
- E) 514 (🟢) Correta. Corresponde exatamente à diferença entre o volume da pílula original (1250 mm³) e o da nova pílula (736 mm³).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi obtida ao identificar a pílula como um sólido composto por um cilindro e uma esfera. Calculamos o volume total da pílula para os dois raios diferentes (5 mm e 4 mm), usando as fórmulas de volume apropriadas, e em seguida encontramos a diferença entre esses dois volumes.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa E.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
A chave para problemas com sólidos compostos é “dividir para conquistar”: decomponha a figura em formas geométricas conhecidas (cilindro, esfera, cone, etc.), calcule o volume de cada parte separadamente e depois some-as. Atenção redobrada às fórmulas
