Ao realizar uma compra em uma loja de departamentos, o cliente tem o direito de participar de um jogo de dardo, no qual, de acordo com a região do alvo acertada, ele pode ganhar um ou mais prêmios. Caso o cliente acerte fora de todos os quatro círculos, ele terá o direito de repetir a jogada, até que acerte uma região que dê o direito de ganhar pelo menos um prêmio. O alvo é o apresentado na figura:
Ao acertar uma das regiões do alvo, ele terá direito ao(s) prêmio(s) indicado(s) nesta região. Há ainda o prêmio extra, caso o cliente acerte o dardo no quadrado ABCD.
João Maurício fez uma compra nessa loja e teve o direito de jogar o dardo. A quantidade de prêmios que João Maurício tem a menor probabilidade de ganhar, sabendo que ele jogou o dardo aleatoriamente, é exatamente:
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Noções de Probabilidade Geométrica
- Interpretação de Diagramas (Diagrama de Venn)
- Raciocínio Lógico
Tema/Objetivo Geral: Análise de Probabilidade Qualitativa em um Contexto Geométrico.
Nível da Questão: Médio – A questão é de nível médio porque, embora não exija cálculos, demanda uma interpretação cuidadosa do conceito de probabilidade geométrica (menor área = menor probabilidade) e a análise de um diagrama com múltiplas sobreposições de áreas. A forma como os prêmios são descritos também pode gerar confusão.
Gabarito: D) 4. A alternativa está correta porque a menor probabilidade de acerto corresponde à menor área do alvo. A menor área é a intersecção dos quatro círculos, região que dá direito aos quatro prêmios indicados.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“A quantidade de prêmios que João Maurício tem a menor probabilidade de ganhar, sabendo que ele jogou o dardo aleatoriamente, é exatamente:”
O que está sendo pedido?
O problema quer que a gente descubra quantos prêmios se ganha ao acertar a região do alvo que é a mais difícil de atingir (ou seja, a que tem a menor chance de ser acertada).
Objetivo Cristalino
Vamos identificar a região com a menor área no alvo e, em seguida, contar quantos prêmios são concedidos por acertá-la.
Pergunta de Atenção
Você se lembra da regra básica da probabilidade geométrica: quanto menor a área de uma região, menor a chance de acertá-la em um lançamento aleatório?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver esta questão, os conceitos-chave são:
- Probabilidade Geométrica: Em um alvo, a probabilidade de acertar uma determinada região é a razão entre a área dessa região (área favorável) e a área total do alvo.
- Princípio Fundamental (sem cálculo): Se a Área A é menor que a Área B, então a Probabilidade de acertar A é menor que a Probabilidade de acertar B.
- Intersecção de Conjuntos (Diagrama de Venn): O alvo funciona como um Diagrama de Venn. Cada círculo representa um conjunto de prêmios. Quando as regiões se sobrepõem (intersecção), significa que o jogador ganha os prêmios de todos os círculos que contêm aquele ponto.
- Região de Intersecção Máxima: O ponto ou área que pertence ao maior número de círculos simultaneamente. Visualmente, é a área mais “central” ou com mais sobreposições.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada
Imagine que o alvo é um mapa de prêmios. Cada um dos quatro círculos (Torradeira, Liquidificador, Cafeteira, Batedeira) é um “território” que te dá um prêmio. Onde os territórios se sobrepõem, você ganha os prêmios de todos eles. O problema nos pede para encontrar a combinação de prêmios que é a “mais difícil” de ganhar. Em um jogo de dardos, “mais difícil” significa acertar a menor área possível.
Estratégia Geral
Nossa estratégia será puramente visual e lógica:
- Identificar qual é a região fisicamente menor no diagrama do alvo.
- Contar quantos círculos diferentes contêm essa menor região.
- O número de círculos será o número de prêmios ganhos naquela jogada.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Relacionar “Menor Probabilidade” com “Menor Área”
A pergunta pede pela “menor probabilidade”. De acordo com o princípio da probabilidade geométrica, o evento com menor probabilidade de ocorrer é aquele associado à menor área no alvo.
Etapa 2: Identificar a Menor Área no Diagrama
Olhando para o alvo, podemos ver várias regiões de tamanhos diferentes:
- As partes mais externas de cada círculo (que não se sobrepõem com nenhum outro) são as maiores. Acertar aqui dá 1 prêmio.
- As regiões em forma de “pétala” (como as áreas B ou D) são intersecções de dois círculos. Elas são menores que as partes externas. Acertar aqui dá 2 prêmios.
- A região bem no centro, onde todos os quatro círculos se cruzam, é visualmente a menor de todas.
Etapa 3: Contar os Prêmios na Menor Região
A menor região é a intersecção central. Vamos ver a quais prêmios ela dá direito:
- Ela está dentro do círculo da Torradeira. (1º prêmio)
- Ela está dentro do círculo do Liquidificador. (2º prêmio)
- Ela está dentro do círculo da Cafeteira. (3º prêmio)
- Ela está dentro do círculo da Batedeira. (4º prêmio)
Portanto, acertar a região de menor área (e menor probabilidade) concede ao jogador 4 prêmios.
Verificação Intermediária
A nossa lógica nos levou a concluir que o resultado mais difícil (menor área) é ganhar 4 prêmios simultaneamente.
Possível armadilha
Você pode ter se confundido com a frase: “Há ainda o prêmio extra, caso o cliente acerte o dardo no quadrado ABCD”. Isso poderia levar a pensar que o total de prêmios seria 5 (os 4 dos círculos + 1 extra do quadrado). No entanto, olhando as alternativas, a interpretação mais provável é que a regra seja: se você acertar dentro do quadrado ABCD, você ganha os prêmios de todos os círculos que aquele ponto pertence. Como o ponto de menor área está dentro do quadrado e dentro dos 4 círculos, ele dá direito aos 4 prêmios. A opção “5” não é a resposta correta, indicando que o “prêmio extra” não é um quinto item, mas sim uma condição para ganhar múltiplos prêmios.
Fechamento e expectativa
O raciocínio nos leva a crer que a quantidade de prêmios associada à menor probabilidade é 4. Esperamos encontrar esse valor nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.
Justificativa Individual
- A) 1. 🔴 Incorreta. Ganhar apenas 1 prêmio corresponde a acertar a maior área de cada círculo (a parte que não se sobrepõe). Portanto, esta é a jogada de maior probabilidade, não a menor.
- B) 2. 🔴 Incorreta. Ganhar 2 prêmios corresponde a acertar a intersecção de dois círculos. Essa área é menor que a de 1 prêmio, mas visivelmente maior que a intersecção central.
- C) 3. 🔴 Incorreta. A questão implicitamente pede a menor probabilidade entre os resultados que podem de fato acontecer.
- D) 4. 🟢 Correta. Conforme nosso raciocínio, ganhar 4 prêmios significa acertar a intersecção de todos os quatro círculos, que é a menor área do alvo e, portanto, o evento de menor probabilidade.
- E) 5. 🔴 Incorreta. Esta seria a resposta se houvesse um 5º prêmio independente. Como explicado na armadilha, essa interpretação não se alinha com a estrutura do problema e a resposta correta.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio
A questão foi resolvida aplicando o princípio de que “menor probabilidade” equivale a “menor área”. Ao analisar visualmente o alvo, identificamos que a menor área é a intersecção central dos quatro círculos, a qual concede os 4 prêmios correspondentes.
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D) 4.
Resumo Final para Revisão 🔍
Em probabilidade geométrica, “menor chance” quase sempre significa “menor área”. Procure a região mais “espremida” ou com o maior número de sobreposições, pois ela será a mais difícil de acertar.
