O projeto de um contêiner, em forma de paralelepípedo reto retangular, previa a pintura dos dois lados (interno e externo) de cada uma das quatro paredes com tinta acrílica e a pintura do piso interno com tinta epóxi. O construtor havia pedido, a cinco fornecedores diferentes, orçamentos das tintas necessárias, mas, antes de iniciar a obra, resolveu mudar o projeto original, alterando o comprimento e a largura para o dobro do originalmente previsto, mantendo inalterada a altura. Ao pedir novos orçamentos aos fornecedores, para as novas dimensões, cada um deu uma resposta diferente sobre as novas quantidades de tinta necessárias.
Em relação ao previsto para o projeto original, as novas quantidades de tinta necessárias informadas pelos fornecedores foram as seguintes:
• Fornecedor I: “O dobro, tanto para as paredes quanto para o piso”.
• Fornecedor II: “O dobro para as paredes e quatro vezes para o piso”.
• Fornecedor III: “Quatro vezes, tanto para as paredes quanto para o piso.”
• Fornecedor IV: “Quatro vezes para as paredes e o dobro para o piso.”
• Fornecedor V: “Oito vezes para as paredes e quatro vezes para o piso.”
Analisando as informações dos fornecedores, o construtor providenciará a quantidade adequada de material. Considere a porta de acesso do contêiner como parte de uma das paredes.
Qual dos fornecedores prestou as informações adequadas, devendo ser o escolhido pelo construtor para aquisição do material?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Geometria Espacial: Áreas de Paralelepípedos).
Matemática Básica (Razão e Proporção).
Tema/Objetivo Geral:
Analisar como a variação nas dimensões lineares (comprimento e largura) de um sólido afeta proporcionalmente as áreas de suas superfícies laterais (paredes) e da base (piso), considerando que a altura permaneceu constante.
Nível da Questão
Médio.
O aluno precisa ter a visão espacial para separar o problema em duas partes: o chão (que cresce para os dois lados) e as paredes (que só crescem para os lados, mas não para cima). A intuição costuma falhar aqui (“se dobrou as medidas, tudo dobra”), o que torna a questão perigosa.
Gabarito
Letra B.
A alternativa está correta pois a área do piso depende de duas variáveis que dobraram (2 x 2 = 4 vezes maior), enquanto a área das paredes depende do perímetro (que dobrou) e da altura (que não mudou), resultando em uma área apenas 2 vezes maior.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
O construtor mudou a planta do contêiner.
- Mudança: Comprimento x 2 e Largura x 2.
- Constante: Altura não mudou.
- Obras: Pintar Parede (Tinta Acrílica) e Pintar Piso (Tinta Epóxi).
O examinador quer saber: Quanto a quantidade de tinta vai aumentar para cada parte?
Vai dobrar? Triplicar? Quadruplicar?
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine um Tapete (Piso) e uma Cerca (Paredes).
- Se você dobra o comprimento e a largura do quarto, o Tapete fica gigante. Ele cresce no comprimento E na largura. (Crescimento ao quadrado).
- A Cerca também fica mais longa (o dobro do comprimento), mas ela não fica mais alta. Ela só “esticou”. (Crescimento linear).
O verdadeiro desafio aqui é calcular separadamente a proporção de aumento do Piso e das Paredes.
Plano de Ataque:
- Analisar o Piso: Área = Comprimento x Largura. Se ambos dobram, o que acontece?
- Analisar as Paredes: Área = Perímetro x Altura. Se o perímetro dobra e a altura é igual, o que acontece?
- Comparar com os Fornecedores: Ver quem acertou as duas contas.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos abrir a maleta da Geometria.
Ferramenta 1: Área do Retângulo (Piso)
- Fórmula: A = c . l (Comprimento vezes Largura).
- Regra de Proporção: Se eu multiplico “c” por 2 e “l” por 2, a área é multiplicada por 2 . 2 = 4.
Ferramenta 2: Área Lateral (Paredes)
Imagine as 4 paredes esticadas numa linha reta.
- Fórmula: A = Perímetro . h (Perímetro vezes Altura).
- Perímetro = 2c + 2l.
- Se “c” e “l” dobram, o Perímetro também dobra.
- Regra de Proporção: Se o Perímetro multiplica por 2 e a Altura por 1 (não muda), a área é multiplicada por 2 . 1 = 2.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular o fator de aumento para cada tinta:
Cálculo 1: Tinta do Piso (Epóxi)
- Área Antiga = c . l
- Área Nova = (2c) . (2l)
- Área Nova = 4 . (c . l)
- Conclusão: O Piso ficou 4 vezes maior.
Cálculo 2: Tinta das Paredes (Acrílica)
- Área Antiga = (2c + 2l) . h
- Área Nova = (2(2c) + 2(2l)) . h
- Área Nova = (4c + 4l) . h
- Colocando o 2 em evidência: 2 . (2c + 2l) . h
- Conclusão: As Paredes ficaram 2 vezes maiores (o dobro).
- Obs: O fato de pintar “interno e externo” não muda a proporção. Se a parede dobrou de tamanho, a tinta dobra para os dois lados.
Resumo da Obra:
- Paredes: Dobro.
- Piso: Quatro vezes.
Agora olhamos para os fornecedores:
- I: Dobro e Dobro. (Errou o piso).
- II: Dobro (paredes) e Quatro vezes (piso). (ACERTOU!)
- III: Quatro e Quatro. (Errou a parede).
- IV: Quatro e Dobro. (Inverteu).
- V: Oito e Quatro. (Viajou na parede).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a intuição “Se dobrou as medidas, dobra a área”!
Isso só vale se a área depender de apenas uma dimensão que variou (como no caso das paredes, onde só o comprimento variou e a altura travou).
No caso do piso, duas dimensões variaram. 2 x 2 = 4.
Se fosse um cubo e tudo dobrasse (inclusive a altura), a área total quadruplicaria (2²) e o volume octuplicaria (2³). Geometria não é soma, é multiplicação!
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O piso é uma área bidimensional onde ambas as dimensões dobraram (x4). As paredes formam uma área onde apenas a extensão horizontal dobrou, mas a vertical manteve-se (x2).
- Expectativa: Fornecedor II.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) I.
- Diagnóstico do Erro: Pensamento Linear.
- Análise: O aluno achou que dobrar as medidas laterais apenas dobra a área do chão. Esqueceu que Comprimento x Largura gera um fator quadrático (2×2=4).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) II.
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise:
- Paredes: Aumentam linearmente com o perímetro (fator 2).
- Piso: Aumenta quadraticamente com as dimensões da base (fator 4).
- O fornecedor II fez as contas exatas.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) III.
- Diagnóstico do Erro: Generalização do Piso.
- Análise: O aluno calculou certo o piso (4x) e achou que a parede seguiria a mesma lógica. Esqueceu que a altura da parede não mudou, o que segura o crescimento da área lateral.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) IV.
- Diagnóstico do Erro: Inversão.
- Análise: O aluno trocou as bolas: aplicou o fator 4 nas paredes e o fator 2 no piso.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) V.
- Diagnóstico do Erro: Confusão com Volume?
- Análise: O fator “8 vezes” (2³) seria para o Volume se todas as dimensões dobrassem (inclusive a altura). Mas estamos falando de área (tinta) e a altura é fixa.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Ao reformar o contêiner, a geometria dita as regras de custo: o piso, crescendo em duas direções, quadruplica de área, enquanto as paredes, crescendo apenas em extensão e mantendo a altura, apenas duplicam, confirmando o orçamento do Fornecedor II.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Piso é área (2×2=4). Parede é fita esticada (2×1=2).
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com Biologia (Regra de Bergmann).
Por que animais de clima frio são grandes (ursos polares) e compactos?
Porque quando você aumenta o tamanho de um corpo, o Volume (que gera calor) cresce ao cubo, mas a Área de Pele (que perde calor) cresce só ao quadrado. Animais grandes retêm mais calor proporcionalmente. É a mesma matemática do contêiner aplicada à sobrevivência!
