Para melhorar o fluxo de ônibus em uma avenida que tem dois semáforos, a prefeitura reduzirá o tempo em que cada sinal ficará vermelho, que atualmente é de 15 segundos a cada 60 segundos. Admita que o instante de chegada de um ônibus a cada semáforo é aleatório. O engenheiro de tráfego da prefeitura calculou a probabilidade de um ônibus encontrar cada um deles vermelho, obtendo 15/60. A partir daí, estabeleceu uma mesma redução na quantidade do tempo, em segundo, em que cada sinal ficará vermelho, de maneira que a probabilidade de um ônibus encontrar ambos os sinais vermelhos numa mesma viagem seja igual a 4/100 , considerando os eventos independentes.
Para isso, a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho, em segundo, estabelecida pelo engenheiro foi de
A) 1,35.
B) 3,00.
C) 9,00.
D) 12,60.
E) 13,80.
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Probabilidade.
- Raciocínio lógico e criação de equações.
- Proporcionalidade aplicada a eventos independentes.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Letra B.
1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Comando da Questão:
Calcular a redução necessária no tempo em que os semáforos permanecem vermelhos para que a probabilidade de um ônibus encontrar ambos os sinais vermelhos seja 4/100.
Palavras-chave:
- “Probabilidade”
- “Eventos independentes”
- “Redução no tempo”
Objetivo:
Determinar a redução no tempo de sinal vermelho que satisfaz a probabilidade especificada.
Dica Geral:
⚠️ Lembre-se de que, para eventos independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais.
2º Passo: Tradução e Interpretação do Texto
- Atualmente, cada semáforo permanece vermelho por 15 s em um ciclo total de 60 s.
- Probabilidade de encontrar um semáforo vermelho:
- Probabilidade de encontrar um semáforo vermelho:
- A probabilidade de encontrar ambos os semáforos vermelhos (eventos independentes) atualmente é:
- O engenheiro deseja reduzir o tempo em que o sinal permanece vermelho, para que a probabilidade conjunta seja:
- Vamos determinar o novo tempo em que cada semáforo deve permanecer vermelho (t) para atingir essa probabilidade.
3º Passo: Explicação de Conceitos Necessários
- Eventos Independentes:
A probabilidade conjunta de dois eventos independentes é o produto das probabilidades individuais:
- Proporcionalidade:
A probabilidade de um semáforo estar vermelho é diretamente proporcional ao tempo em que ele permanece vermelho (t) e inversamente proporcional ao ciclo total (60 s):
4º Passo: Cálculos
- Definição da nova probabilidade conjunta:
Como Pconjunta=4/100, a probabilidade de cada semáforo estar vermelho (Pnovo) é:
- Cálculo do novo tempo de semáforo vermelho (t):
Sabemos que:
Substituindo P (novo) = 0,2
Multiplicando por 60:
t=12s. - Redução no tempo de semáforo vermelho:
O tempo atual é 15 s. Assim, a redução necessária é:
Dica Geral:
⚠️ Sempre verifique as condições de proporcionalidade e calcule a probabilidade conjunta corretamente.
5º Passo: Conclusão e Justificativa Final
Conclusão:
A redução no tempo de semáforo vermelho necessária para satisfazer a condição da probabilidade conjunta é de 3 s. A alternativa correta é B.
Resumo Final:
A probabilidade de encontrar um semáforo vermelho depende do tempo em que ele permanece assim. Para atingir a probabilidade conjunta desejada (4/100), o tempo de cada semáforo vermelho deve ser reduzido para 12 s, resultando em uma redução de 3s.
