O técnico de um time de basquete pretende aumentar a estatura média de sua equipe de 1,93 m para, no mínimo, 1,99 m. Para tanto, dentre os 15 jogadores que fazem parte de sua equipe, irá substituir os quatro mais baixos, de estaturas: 1,78 m, 1,82 m, 1,84 m e 1,86 m. Para isso, o técnico contratou um novo jogador de 2,02 m. Os outros três jogadores que ele ainda precisa contratar devem satisfazer à sua necessidade de aumentar a média das estaturas da equipe. Ele fixará a média das estaturas para os três jogadores que ainda precisa contratar dentro do critério inicialmente estabelecido.
Qual deverá ser a média mínima das estaturas, em metro, que ele deverá fixar para o grupo de três novos jogadores que ainda irá contratar?
a) 1,96
b) 1,98
c) 2,05
d) 2,06
e) 2,08
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Estatística (Média Aritmética)
- Álgebra (Equações do 1º Grau)
🎯 Tema/Objetivo Geral
Cálculo da média de um subconjunto de dados necessária para atingir uma nova média geral desejada em um conjunto maior.
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? O problema exige uma manipulação algébrica do conceito de média que vai além do cálculo simples. É preciso trabalhar com a soma total das estaturas, calcular a soma após as substituições e usar uma equação para encontrar a soma necessária dos novos jogadores, e só então calcular a média deles.
✅ Gabarito
Alternativa D.
Resumo: O problema é resolvido calculando-se a soma total das estaturas para a nova equipe (Soma_nova = 1,99 m × 15 jogadores). A partir da equipe antiga, calcula-se a soma das estaturas dos 11 jogadores que permanecem. Subtraindo essa soma e a altura do novo jogador já contratado da soma total desejada, encontra-se a soma mínima necessária para os três jogadores restantes. Dividindo essa soma por 3, obtém-se a média mínima de 2,06 m.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Qual deverá ser a média mínima das estaturas, em metro, que ele deverá fi xar para o grupo de três novos jogadores que ainda irá contratar?”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para calcular a altura média que os três novos jogadores precisam ter para que a nova média de altura do time inteiro seja de, no mínimo, 1,99 m.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Calcular a soma total das alturas do time antigo.
- Calcular qual deve ser a soma total das alturas do time novo para atingir a média desejada.
- Descobrir qual a soma das alturas que os 4 novos jogadores precisam ter.
- Subtrair a altura do jogador já contratado para achar a soma das alturas dos 3 que faltam.
- Dividir essa soma por 3 para encontrar a média deles.
🧠 Você lembra da relação entre Média, Soma e Número de elementos? Média = Soma / Número. Isso significa que Soma = Média × Número. Essa segunda fórmula será nossa principal ferramenta!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Média Aritmética (M): É a soma de todos os valores (S) de um conjunto de dados, dividida pelo número de elementos (n) desse conjunto.
- M = S / n
- Soma Total (S): Pode ser calculada a partir da média e do número de elementos.
- S = M ⋅ n
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Um técnico de basquete quer que seu time de 15 jogadores seja mais alto. A média atual é 1,93m, mas ele quer que seja, no mínimo, 1,99m.
O plano dele é o seguinte:
- Tirar: Ele vai dispensar os 4 jogadores mais baixos (1,78m, 1,82m, 1,84m, 1,86m).
- Contratar: Ele vai trazer 4 novos jogadores para o lugar.
- Um ele já contratou: um gigante de 2,02m.
- Faltam 3.
A pergunta é: qual a altura média que esses 3 novos jogadores precisam ter para que o plano do técnico dê certo?
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será trabalhar com a SOMA TOTAL das alturas, pois é mais fácil adicionar e subtrair somas do que médias.
- Calcular a Soma_antiga.
- Calcular a Soma_nova_desejada.
- Encontrar a Soma_dos_4_novos_jogadores pela diferença.
- Encontrar a Soma_dos_3_restantes.
- Calcular a Média_dos_3_restantes.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Calcular a soma das estaturas da equipe antiga (S_antiga)
- Média antiga = 1,93 m
- Número de jogadores = 15
- S_antiga = Média_antiga × Nº de jogadores
- S_antiga = 1,93 × 15 = 28,95 m
Etapa 2: Calcular a soma das estaturas da nova equipe (S_nova)
- Média mínima desejada = 1,99 m
- Número de jogadores = 15
- S_nova = Média_nova × Nº de jogadores
- S_nova = 1,99 × 15 = 29,85 m
Etapa 3: Calcular a soma das estaturas dos 11 jogadores que permanecem (S_permanecem)
- Para isso, vamos subtrair da soma antiga a soma dos 4 jogadores que saíram.
- Soma dos que saíram = 1,78 + 1,82 + 1,84 + 1,86 = 7,30 m
- S_permanecem = S_antiga – Soma dos que saíram
- S_permanecem = 28,95 – 7,30 = 21,65 m
Etapa 4: Calcular a soma mínima necessária para os 3 novos jogadores (S_3_novos)
- A soma da nova equipe é a soma dos que permanecem mais a soma dos 4 novos.
- S_nova = S_permanecem + S_4_novos
- S_4_novos = S_nova – S_permanecem
- S_4_novos = 29,85 – 21,65 = 8,20 m
- Sabemos que um dos novos jogadores tem 2,02 m. Então:
- S_4_novos = (Altura do 1º novo) + S_3_novos
- 8,20 = 2,02 + S_3_novos
- S_3_novos = 8,20 – 2,02 = 6,18 m
Etapa 5: Calcular a média mínima dos 3 novos jogadores
- Média_3_novos = S_3_novos / 3
- Média_3_novos = 6,18 / 3
- Média_3_novos = 2,06 m
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é se perder nos cálculos e na lógica de quem entra e quem sai. É fácil esquecer de subtrair a altura do jogador já contratado (2,02 m) antes de calcular a média final, ou cometer erros na soma das alturas dos jogadores que saíram. O uso da soma total como pivô do cálculo ajuda a organizar o raciocínio.
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou a uma média mínima de 2,06 m. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 1,96
🔴 B) 1,98
🔴 C) 2,05
🟢 D) 2,06 Correta. Corresponde exatamente ao valor calculado.
🔴 E) 2,08
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema foi resolvido em etapas, utilizando o conceito de que a soma total das alturas é igual à média multiplicada pelo número de jogadores. Primeiro, calculou-se a soma das alturas da equipe original (28,95 m) e a soma mínima desejada para a nova equipe (29,85 m). Em seguida, calculou-se a soma das alturas dos 11 jogadores que permaneceram no time, subtraindo os 4 jogadores mais baixos da soma original (21,65 m). A diferença entre a soma desejada para a nova equipe e a soma dos que permaneceram nos deu a soma total necessária para os 4 novos jogadores (8,20 m). Descontando a altura do jogador já contratado (2,02 m), encontrou-se que os três jogadores restantes devem somar, no mínimo, 6,18 m. Finalmente, a média mínima para esses três jogadores é 6,18 m dividido por 3, o que resulta em 2,06 m.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a D.
Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de média com adição e remoção de elementos, trabalhe sempre com a SOMA TOTAL. É muito mais fácil somar e subtrair os valores individuais da soma total do que tentar manipular as médias diretamente. Lembre-se: Soma = Média × Quantidade.
