O técnico de um time de basquete pretende aumentar a estatura média de sua equipe de 1,93 m para, no mínimo, 1,99 m. Para tanto, dentre os 15 jogadores que fazem parte de sua equipe, irá substituir os quatro mais baixos, de estaturas: 1,78 m, 1,82 m, 1,84 m e 1,86 m. Para isso, o técnico contratou um novo jogador de 2,02 m. Os outros três jogadores que ele ainda precisa contratar devem satisfazer à sua necessidade de aumentar a média das estaturas da equipe. Ele fixará a média das estaturas para os três jogadores que ainda precisa contratar dentro do critério inicialmente estabelecido.
Qual deverá ser a média mínima das estaturas, em metro, que ele deverá fixar para o grupo de três novos jogadores que ainda irá contratar?
a) 1,96
b) 1,98
c) 2,05
d) 2,06
e) 2,08
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Média Aritmética
- Manipulação Algébrica
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Letra D.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Comando da questão:
O técnico de um time de basquete quer aumentar a altura média da equipe de 1,93 m para, no mínimo, 1,99 m. Para isso, ele substituirá os quatro jogadores mais baixos e contratará quatro novos jogadores, sendo que um deles já tem 2,02 m.
A questão pede para calcular a média mínima da altura dos três jogadores restantes para que a média final da equipe atinja 1,99 m.
Palavras-chave importantes:
- Média Aritmética: Precisamos entender como a média é calculada e como as substituições influenciam esse valor.
- Altura mínima necessária: Devemos encontrar a altura mínima que os três novos jogadores devem ter, em média, para atingir o objetivo.
Passo 2: Tradução e Interpretação do Texto
A equipe tem 15 jogadores, e sua média inicial de altura é:
Multiplicando ambos os lados por 15:
Soma das alturas dos 15 jogadores = 1,93 × 15 = 28,95 metros
Agora, o técnico substituirá os quatro jogadores mais baixos de 1,78 m, 1,82 m, 1,84 m e 1,86 m. Isso significa que devemos remover essas alturas da soma total.
Calculamos a soma das alturas desses jogadores:
1,78 + 1,82 + 1,84 + 1,86 = 7,30 metros
Após remover esses jogadores, a nova soma da altura da equipe será
28,95 − 7,30 = 21,65 metros
Agora, serão adicionados quatro novos jogadores, sendo que um deles já tem 2,02 m.
Se chamarmos a soma das alturas dos três jogadores restantes de J, a nova soma das alturas do time será:
21,65 + 2,02 +J
Para que a nova média da equipe seja de pelo menos 1,99 m, devemos garantir que:
Passo 3: Explicação de conceitos necessários
1. Média Aritmética
A média de um conjunto de valores é dada por:
Se queremos que a média seja 1,99 m e sabemos que há 15 jogadores, então a soma das alturas precisa ser:
1,99 × 15 = 29,85 metros
Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
Já sabemos que a soma parcial das alturas dos jogadores antes de adicionar os três novos é:
21,65 + 2,02 = 23,67
Então, a soma das alturas dos três jogadores restantes deve satisfazer a equação:
23,67 + J = 29,85
Resolvendo para J:
J = 29,85 − 23,67 = 6,18.
Agora, para encontrar a média mínima dessas três alturas:
Portanto, cada um dos três novos jogadores deve ter, em média, pelo menos 2,06 m.
Passo 5: Resumo do passo a passo
- Soma total inicial da equipe: 1,93 × 15 = 28,95
- Removemos os quatro jogadores mais baixos: 28,95 − (1,78 + 1,82 + 1,84 + 1,86) = 28,95 − 7,30 = 21,65
- Adicionamos o novo jogador de 2,02 m: 21,65 + 2,02 = 23,67
- Calculamos a soma necessária para os três novos jogadores:
- 1,99×15=29,85
- J = 29,85 − 23,67 = 6,18
- Calculamos a média mínima para os três novos jogadores:
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Ao calcular a nova soma necessária, verificamos que os três novos jogadores precisam ter uma média mínima de 2,06 m para que a equipe atinja o objetivo.
Portanto, a resposta correta é Letra D (2,06 m).
