Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.
O raio da perfuração da peça é igual a
A) 1 cm.
B) 2 cm.
C) 3 cm.
D) 4 cm.
E) 5 cm.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Triângulos e Circunferências)
- Teorema de Pitágoras (Relações Métricas no Triângulo Retângulo)
- Cálculo de Área de Triângulos
- Propriedades de Circunferências Inscritas
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo do raio de uma circunferência inscrita em um triângulo (inraio), a partir das dimensões dos lados do triângulo.
Nível da Questão
Médio – A questão é de nível médio porque exige que o aluno interprete uma situação tridimensional (prisma) e a reduza a um problema bidimensional (a base triangular). Além disso, é necessário reconhecer que a base é um triângulo retângulo e aplicar uma fórmula específica que relaciona a área e o perímetro de um triângulo com o raio de sua circunferência inscrita.
Gabarito
B) 2 cm. – Este valor corresponde ao raio da circunferência inscrita na base triangular de lados 6, 8 e 10 cm. O cálculo é feito utilizando a relação entre a área do triângulo, seu semiperímetro e o raio da circunferência inscrita.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“O raio da perfuração da peça é igual a”
1.2 O que está sendo pedido?
O problema nos pede para encontrar a medida do raio do furo cilíndrico que atravessa a peça.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular o raio ‘r’ do círculo que está na base do prisma. A informação chave é que este círculo é tangente aos três lados do triângulo que forma a base da peça. Isso significa que estamos procurando o raio da circunferência inscrita no triângulo.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a altura da peça (10 cm) é uma informação extra, um “distrator”? O problema todo se resolve olhando apenas para a geometria da base triangular!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Circunferência Inscrita: É a maior circunferência que pode ser desenhada dentro de um polígono de forma que ela toque (seja tangente a) todos os seus lados. O raio dessa circunferência é chamado de inraio (r).
- Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos (os lados menores) é igual ao quadrado da hipotenusa (o lado maior). a² + b² = c². Isso nos ajuda a identificar se um triângulo é retângulo.
- Fórmula para o Raio da Circunferência Inscrita (Inraio): Existe uma bela fórmula que conecta a área de qualquer triângulo (A), seu semiperímetro (s) e o inraio (r):
A = s * r
Onde:- A é a área do triângulo.
- s é o semiperímetro (metade do perímetro). s = (lado1 + lado2 + lado3) / 2.
- r é o raio da circunferência inscrita (o que queremos encontrar).
- Dica Rápida para Triângulos Retângulos: Para o caso específico de um triângulo retângulo, existe um atalho para encontrar o inraio:
r = (cateto1 + cateto2 – hipotenusa) / 2
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos simplificar: esqueça a peça 3D por um instante. O problema se resume a uma questão de desenho 2D. Temos um terreno triangular com lados medindo 6, 8 e 10 cm. Queremos construir a maior piscina circular possível dentro desse terreno, de forma que a borda da piscina encoste nos três limites do terreno. A nossa missão é descobrir qual é o raio dessa piscina.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Analisar o triângulo da base (lados 6, 8, 10) e verificar se ele é um triângulo retângulo.
- Calcular a área (A) desse triângulo.
- Calcular o semiperímetro (s) do triângulo.
- Usar a fórmula A = s * r para isolar e encontrar o raio ‘r’.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos seguir nossa estratégia com os dados do problema.
1. Verificando o Tipo de Triângulo:
Vamos usar o Teorema de Pitágoras para ver se o triângulo de lados 6, 8 e 10 é retângulo.
6² + 8² =? 10²
36 + 64 =? 100
100 = 100
Sim! É um triângulo retângulo, cujos catetos são 6 cm e 8 cm, e a hipotenusa é 10 cm.
2. Calculando a Área (A) do Triângulo:
A área de um triângulo retângulo é simplesmente (base × altura) / 2. Os catetos servem como base e altura.
A = (6 * 8) / 2
A = 48 / 2
A = 24 cm²
3. Calculando o Semiperímetro (s):
Primeiro, o perímetro (P) é a soma dos lados.
P = 6 + 8 + 10 = 24 cm
O semiperímetro (s) é metade do perímetro.
s = 24 / 2 = 12 cm
4. Calculando o Raio (r):
Agora, usamos a fórmula que conecta tudo: A = s * r.
24 = 12 * r
Para encontrar ‘r’, passamos o 12 dividindo:
r = 24 / 12
r = 2 cm
4.2 Verificação Intermediária
Vamos usar a “Dica Rápida” para triângulos retângulos para confirmar nosso resultado:
r = (cateto1 + cateto2 – hipotenusa) / 2
r = (6 + 8 – 10) / 2
r = (14 – 10) / 2
r = 4 / 2 = 2 cm
Os resultados batem perfeitamente, o que nos dá grande confiança na resposta!
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é se confundir com a visualização 3D e a altura do prisma (10 cm), tentando usá-la em algum cálculo desnecessário. Outro erro seria não saber a relação entre área, semiperímetro e inraio, ficando sem ferramentas para resolver o problema.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossos cálculos, verificados por dois métodos diferentes, nos levaram de forma consistente ao resultado de r = 2 cm. Esperamos encontrar este valor exato nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 1 cm.
B) 2 cm.
C) 3 cm.
D) 4 cm.
E) 5 cm.
5.2 Justificativa Individual
- A) 1 cm (🔴): Incorreto. Um erro de cálculo, talvez na fórmula do atalho (ex: (6+8-10)/4), poderia levar a um valor próximo.
- B) 2 cm (🟢): Correto. Este é o valor exato que encontramos para o raio da circunferência inscrita.
- C) 3 cm (🔴): Incorreto. Este valor é metade do cateto menor (6 cm), mas não representa o inraio.
- D) 4 cm (🔴): Incorreto. Este valor seria o diâmetro da perfuração (2 * r = 2 * 2 = 4), não o raio. Uma armadilha clássica!
- E) 5 cm (🔴): Incorreto. Este valor é metade da hipotenusa, que seria o raio da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo, não da inscrita.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O problema foi resolvido ao identificar que a questão se resumia a encontrar o raio de uma circunferência inscrita na base triangular. Confirmamos que o triângulo era retângulo, calculamos sua área e seu semiperímetro, e aplicamos a fórmula A = s * r para determinar o raio.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B), pois o raio da perfuração é de 2 cm.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se desta poderosa ferramenta: para encontrar o raio de um círculo inscrito em qualquer triângulo, a fórmula Área = semiperímetro × raio é a chave
