Uma pessoa pretende viajar por uma companhia aérea que despacha gratuitamente uma mala com até 10kg.
Em duas viagens que realizou, essa pessoa utilizou a mesma mala e conseguiu 10 kg com as seguintes combinações de itens:
Para ter certeza de que sua bagagem terá massa de 10 kg, ela decide levar essa mala com duas calças, um sapato e o máximo de camisetas, admitindo que itens do mesmo tipo têm a mesma massa.
Qual a quantidade máxima de camisetas que essa pessoa poderá levar?
A) 22
B) 24
C) 26
D) 33
E) 39
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Álgebra: Sistemas Lineares e Raciocínio Lógico).
Tema/Objetivo Geral:
Resolver um sistema linear com mais incógnitas do que equações, utilizando a comparação entre duas situações dadas para encontrar uma “taxa de equivalência” (relação de troca) entre os itens da mala.
Nível da Questão
Médio.
Não conseguimos descobrir o peso exato de cada peça isoladamente (o sistema é indeterminado), mas conseguimos descobrir a relação entre elas. O aluno precisa ter a sacada de subtrair uma situação da outra para ver o padrão.
Gabarito
Letra B.
A alternativa está correta pois, ao compararmos a Viagem 1 com a Viagem 2, descobrimos que 1 calça + 1 sapato pesam o mesmo que 6 camisetas. Usando essa troca, adaptamos a mala para a nova configuração e chegamos a 24 camisetas.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Temos uma mala que aguenta 10 kg.
- Cenário 1: 12 camisetas, 4 calças, 3 sapatos. (Pesa 10kg).
- Cenário 2: 18 camisetas, 3 calças, 2 sapatos. (Pesa 10kg).
- Nosso Objetivo: Queremos levar 2 calças e 1 sapato. Quantas camisetas cabem no espaço que sobrou?
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você está trocando figurinhas.
No Cenário 1 você deu um pacote. No Cenário 2 você deu outro pacote com o mesmo valor.
Ao comparar os dois, você percebe que quando você tira calça e sapato, você pode colocar mais camiseta.
A questão quer que você descubra a Taxa de Câmbio: Quantas camisetas valem o conjunto “calça + sapato”?
Plano de Ataque:
- Montar as Equações: Transformar os textos em matemática (x, y, z).
- Subtrair as Equações: Ver a diferença entre a Viagem 1 e a Viagem 2. Isso vai revelar o “peso relativo” das coisas.
- Aplicar a Troca: Pegar uma das viagens e substituir calças e sapatos por camisetas até chegar na configuração desejada.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos abrir a maleta da Álgebra.
Chamaremos as massas de:
- x = Camiseta
- y = Calça
- z = Sapato
As Fórmulas da Mala:
- Viagem I: 12x + 4y + 3z = 10 kg
- Viagem II: 18x + 3y + 2z = 10 kg
Meta: Queremos saber o valor de K na equação:
K.x + 2y + 1z = 10 kg
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos comparar a Viagem I com a Viagem II.
Observe a mudança:
- De I para II, o número de camisetas aumentou em 6 (de 12 para 18).
- Em compensação, o número de calças diminuiu em 1 (de 4 para 3).
- E o número de sapatos diminuiu em 1 (de 3 para 2).
O Insight do Detetive:
Para colocar 6 camisetas a mais, a pessoa teve que tirar 1 calça e 1 sapato. O peso total continuou 10 kg.
Conclusão Matemática: O peso de (1 calça + 1 sapato) é IGUAL ao peso de 6 camisetas.
Em “matematiquês”: y + z = 6x.
Aplicando à Meta Final:
Queremos levar 2 calças e 1 sapato (2y + z).
Vamos pegar a Viagem II como base, pois ela está mais perto do que queremos.
- A Viagem II tem: 18 camisetas + 3 calças + 2 sapatos.
- Nós queremos apenas: 2 calças + 1 sapato.
Ou seja, precisamos retirar da Viagem II exatamente 1 calça e 1 sapato.
- Se eu tiro 1 calça e 1 sapato, quanto espaço sobra?
- Sobra espaço para 6 camisetas (já descobrimos essa troca!).
Conta Final:
Tinha 18 camisetas.
Tirei o kit (calça+sapato) e troquei por 6 camisetas.
Total de camisetas = 18 + 6 = 24 camisetas.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com o sistema impossível!
Muitos alunos tentam descobrir o peso exato da camiseta (achar o valor de x).
Não dá! Você tem 3 incógnitas (x, y, z) e apenas 2 equações. Existem infinitos valores possíveis para o peso individual. O segredo não é achar o peso, é achar a relação de troca. Não perca tempo tentando achar “x = 200 gramas”, foque em “1 calça vale 6 camisetas”.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: 1 calça + 1 sapato = 6 camisetas. Partindo da viagem II, trocamos o excesso de roupa por mais 6 camisetas. 18 + 6 = 24.
- Expectativa: O número 24.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 22.
- Diagnóstico do Erro: Erro de proporção.
- Análise: O aluno pode ter tentado uma regra de três simples ignorando a diferença de peso entre calças e sapatos.
B) 24.
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise:
- Equação Base (Viagem II): 18x + 3y + 2z = 10
- Relação descoberta: y + z = 6x
- Substituindo na base: 18x + 2y + z + (y + z) = 10
- 18x + 2y + z + (6x) = 10
- (18x + 6x) + 2y + z = 10
- 24x + 2y + z = 10.
- Logo, cabem 24 camisetas.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 26.
- Diagnóstico do Erro: Erro de troca.
- Análise: Talvez o aluno tenha achado que a troca era por 8 camisetas ou somou errado.
D) 33.
- Diagnóstico do Erro: Extrapolação.
- Análise: Um número muito alto, sugerindo que calças e sapatos pesam quase nada, o que não condiz com a relação 1y+1z=6x.
E) 39.
- Diagnóstico do Erro: Ignorou as calças restantes.
- Análise: Talvez o aluno tenha tentado transformar TUDO em camisetas (tirar todas as calças e sapatos), mas a questão exige levar 2 calças e 1 sapato.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para otimizar a mala, utilizamos um sistema linear para descobrir a “taxa de câmbio” dos objetos: ao perceber que remover um par de calça e sapato libera espaço exato para 6 camisetas, pudemos ajustar a bagagem da Viagem II, chegando ao máximo de 24 camisetas.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Tira 1 calça e 1 sapato →Entram 6 camisetas.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com Estequiometria Química.
Resolver esse problema é igual a balancear uma equação química ou calcular reagentes. Você não precisa saber a massa atômica de cor se souber a proporção molar (a relação de troca). Se 1 mol de A reage com 1 mol de B para dar 6 mols de C, a matemática é a mesma dessa mala!
