Uma família possui um terreno retangular com 18 metros de largura e 24 metros de comprimento. Foi necessário demarcar nesse terreno dois outros iguais, na forma de triângulos isósceles, sendo que um deles será para o filho e o outro para os pais. Além disso, foi demarcada uma área de passeio entre os dois novos terrenos para o livre acesso das pessoas.
Os terrenos e a área de passeio são representados na figura.
A área de passeio calculada pela família, em metro quadrado, é de
A) 108.
B) 216.
C) 270.
D) 288.
E) 324.
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Área de Figuras Planas (Retângulo, Triângulo)
- Geometria Plana (Propriedades de Retângulos e Triângulos Isósceles)
- Interpretação de Texto e Imagem
- Tema/Objetivo Geral: Calcular a área de uma região composta (um paralelogramo) dentro de um retângulo, deduzindo suas dimensões a partir das propriedades das figuras envolvidas.
- Nível da Questão
- Médio. A questão exige mais do que a simples aplicação de fórmulas de área. O ponto crucial é a dedução correta das dimensões dos triângulos a partir da combinação da informação textual (“isósceles”) e visual (triângulos retângulos nos cantos). Um erro nessa dedução inicial compromete toda a resolução.
- Gabarito
- A) 108. Esta alternativa está correta, pois representa a área total do terreno retangular subtraída das áreas dos dois terrenos triangulares demarcados nos cantos.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é atuar como um agrimensor. Precisamos calcular a área exata da faixa de passeio (a parte cinza) que foi deixada no meio de um terreno retangular, após a demarcação de dois lotes triangulares nos cantos.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine uma folha de papel retangular. Você pega uma tesoura e corta dois pedaços triangulares idênticos de dois cantos opostos. A questão nos pede a área do pedaço de papel que sobrou no meio, com formato de faixa diagonal.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): A estratégia mais segura para encontrar a área de uma forma complexa é, muitas vezes, subtrair as partes mais simples do todo. Nosso plano será:
- Calcular a Área Total: Encontrar a área do terreno retangular completo.
- Investigar os Triângulos: Usar as pistas do texto e da imagem para descobrir as medidas exatas dos dois terrenos triangulares.
- Calcular a Área dos Triângulos: Aplicar a fórmula de área para um dos triângulos e dobrar o resultado.
- Encontrar a Área Restante: Subtrair a área dos dois triângulos da área total do terreno. O que sobrar será a área da faixa de passeio.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Nossas ferramentas são as fórmulas de área e, mais importante, o raciocínio dedutivo para conectar as pistas.
📋 Ficha de Fórmulas e Pistas
- Área do Retângulo: Comprimento × Largura
- Área do Triângulo: (Base × Altura) / 2
- Pista 1 (Texto): Os terrenos são “triângulos isósceles” (têm dois lados iguais).
- Pista 2 (Imagem): Os triângulos estão nos cantos do retângulo, o que significa que eles são triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90°).
- Dedução Mestra (Cruzando as Pistas): Se um triângulo é ao mesmo tempo isósceles e retângulo, seus dois lados iguais são os catetos (os lados que formam o ângulo de 90°).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano de ataque.
- 1. Calculando a Área Total:
- O terreno tem 24 m de comprimento e 18 m de largura.
- Área Total = 24 m × 18 m = 432 m².
- 2. Investigando os Triângulos:
- Pela nossa “Dedução Mestra”, os triângulos têm dois catetos de mesma medida.
- Observando a imagem, um dos catetos de cada triângulo se alinha perfeitamente com a largura do terreno.
- Portanto, a medida desse cateto é 18 m.
- Como os catetos são iguais, o outro cateto também mede 18 m.
- Conclusão: Temos dois triângulos retângulos com base = 18 m e altura = 18 m.
- 3. Calculando a Área dos Triângulos:
- Área de UM triângulo = (Base × Altura) / 2 = (18 × 18) / 2 = 324 / 2 = 162 m².
- Como são dois triângulos iguais, a área total deles é: 2 × 162 m² = 324 m².
- 4. Encontrando a Área Restante (do Passeio):
- Área do Passeio = Área Total – Área dos Dois Triângulos
- Área do Passeio = 432 m² – 324 m² = 108 m².
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Esta questão tem duas armadilhas poderosas.
- A Armadilha Conceitual (a mais perigosa): O erro que acontece antes de começar a calcular. O examinador divide as pistas entre o texto e a imagem. O texto diz “isósceles”. A imagem mostra “triângulos retângulos” (pois estão nos cantos de um retângulo). A chave para decifrar o enigma é fundir essas duas informações. Se você usar só o texto, não sabe as medidas. Se usar só a imagem, não sabe que os lados são iguais. A regra de ouro para o futuro é: trate o texto e a imagem como parceiros inseparáveis na investigação. Sempre se pergunte: “O que a imagem me diz que o texto não diz? E vice-versa?”.
- A Armadilha de Cálculo (a “casca de banana”): Após deduzir tudo corretamente, você encontra a área dos dois triângulos: 324 m². Veja a alternativa E. É uma isca! O candidato apressado para aqui, esquecendo que a pergunta é sobre a área do passeio, não dos terrenos.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Determinamos a área total do retângulo (432 m²) e a área dos dois terrenos triangulares (324 m²), que foram deduzidos como triângulos retângulos isósceles de lados 18m. A área do passeio é a diferença entre esses valores.
- Expectativa: A alternativa correta deve ser exatamente 108 m².
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 108.
- Análise de Correspondência: Este valor corresponde perfeitamente ao resultado da nossa investigação (432 – 324).
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- B) 216.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter calculado a área total (432) e dividido por 2, supondo que a área do passeio é metade da área total.
- O “Diagnóstico do Erro”: Generalização Excessiva / Falsa Simetria.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) 270.
- A “Narrativa do Erro”: Este valor não corresponde a um erro de cálculo óbvio, sugerindo uma interpretação equivocada das dimensões ou um erro aritmético aleatório.
- O “Diagnóstico do Erro”: Fuga ao Raciocínio Lógico.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) 288.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter multiplicado o comprimento (24) pela diferença entre a largura e uma medida incorreta (ex: 24 x (18-6) = 288).
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo / Interpretação Incorreta das Dimensões.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 324.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato calculou corretamente a área dos dois terrenos triangulares, mas se esqueceu da etapa final de subtração.
- O “Diagnóstico do Erro”: Processo Incompleto / Confundir a Parte com o Todo. É a armadilha clássica que discutimos.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a resposta correta é a alternativa A, demonstrando que a área de uma forma complexa pode ser elegantemente encontrada pela estratégia de “subtrair o que não se quer do todo”.
Resumo-flash (A Imagem Mental): “A área do caminho é o terreno todo, menos as duas fatias triangulares dos cantos.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O princípio de “Cálculo de Área por Subtração” é fundamental em Engenharia Civil e Arquitetura. Ao projetar uma casa em um terreno, o engenheiro calcula a área total e subtrai as “áreas não edificáveis” (áreas de recuo obrigatório, preservação ambiental etc.) para encontrar a “área útil” de construção. Da mesma forma, ao calcular a quantidade de piso para uma sala com uma lareira no canto, você calcula a área total da sala e subtrai a área da base da lareira. Você acabou de usar um método padrão do dia a dia da construção civil.
