Pesquisas indicam que o número de bactérias X é duplicado a cada quarto de hora. Um aluno resolveu fazer uma observação para verificar a veracidade dessa afirmação. Ele usou uma população inicial de 105 bactérias X e encerrou a observação ao final de uma hora.
Suponha que a observação do aluno tenha confirmado que o número de bactérias X se duplica a cada quarto de hora.
Após uma hora do início do período de observação desse aluno, o número de bactérias X foi de
A) 2−2 · 105
B) 2−1 · 105
C) 22 · 105
D) 23 · 105
E) 24 · 105
Resolução em vídeo
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática (Potenciação e Progressões)
📔 Nível da Questão:
- Fácil, mas exige atenção à relação entre tempo e frequência da duplicação.
✅ Gabarito:
- Letra E) 2⁴ · 10⁵
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Crescimento exponencial e potência de base 2 (progressão geométrica com duplicação).
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando Essencial:
“Após uma hora do início do período de observação desse aluno, o número de bactérias X foi de…”
❓O que está sendo pedido?
O número total de bactérias ao final de 1 hora, dado que elas dobram a cada 15 minutos (¼ de hora), e a população inicial é de 10⁵
🎯 Objetivo Cristalino
Entender quantas vezes ocorre a duplicação em uma hora e aplicar o crescimento exponencial corretamente.
💡 Dica Geral
Se algo dobra a cada intervalo de tempo fixo, o crescimento segue uma progressão geométrica com razão 2.
✔ Pergunta de Atenção
Se a cada 15 minutos a população dobra, quantas vezes ela duplica em uma hora?
💬 Dúvida Comum
“Devo multiplicar por 4?” — Não! O número de bactérias dobra 4 vezes, o que significa multiplicar por 2 quatro vezes, ou seja: multiplicar por 2⁴ , não por 4.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📘 Crescimento Exponencial com Duplicação
Quando uma quantidade dobra a cada intervalo de tempo, ela cresce segundo uma potência de base 2:
Se dobra a cada intervalo e ocorrem n intervalos:
- População final = População inicial × 2^n
📘 Interpretação do tempo
1 hora = 60 minutos
Cada duplicação ocorre a cada 15 minutos
Então:
- 60÷15=4 duplicações
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação de Texto
- População inicial: 10⁵
- Dobra a cada ¼ de hora → 4 duplicações em 1 hora
- A cada duplicação: multiplica por 2
Logo:
- População Final: 10⁵ . 2⁴
🔷 Passo 4: Análise das Alternativas
Vamos analisar cada uma:
A) 2⁻² · 10⁵ ❌ Indica divisão, não crescimento.
B) 2⁻¹ · 10⁵ ❌ Também representa redução.
C) 2² · 10⁵ ❌ Apenas 2 duplicações — deveria ser 4.
D) 2³ · 10⁵ ❌ Apenas 3 duplicações.
✅ E) 2⁴ · 10⁵ ✔ Correto: 4 duplicações em 1 hora.
🔷 Passo 5: Conclusão e Justificativa Final
Como o número de bactérias dobra a cada ¼ de hora, em 1 hora ocorrem 4 duplicações. Cada duplicação representa multiplicar por 2. Assim, temos:
- 10⁵ . 2⁴ = 2⁴. 10⁵
✅ Alternativa correta: Letra E
