Uma fábrica que trabalha com matéria-prima de fibra de vidro possui diversos modelos e tamanhos de caixa-d’água. Um desses modelos é um prisma reto com base quadrada. Com o objetivo de modificar a capacidade de armazenamento de água, está sendo construído um novo modelo, com as medidas das arestas da base duplicadas, sem a alteração da altura, mantendo a mesma forma.
Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é
A) oito vezes maior.
B) quatro vezes maior.
C) duas vezes maior.
D) a metade.
E) a quarta parte.
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria espacial
- Volume de prismas
- Potenciação
- Proporcionalidade
📔 Nível da Questão:
- Fácil – A questão exige apenas aplicar a fórmula do volume e interpretar o efeito da duplicação de um lado da base sobre o volume total.
✅ Gabarito:
- Letra B
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Volume de prisma com base quadrada e variação proporcional
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1️⃣ Comando Essencial:
“Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é”
2️⃣ O que está sendo pedido?
Comparar o volume do novo modelo de caixa d’água (com base duplicada) com o volume do modelo original.
3️⃣ Objetivo Cristalino:
Descobrir quantas vezes o volume aumentou quando a aresta da base foi duplicada, mantendo a altura.
4️⃣ Dica Geral:
O volume de prismas com base quadrada depende do quadrado da aresta da base. Se você dobra a aresta, o efeito no volume é ao quadrado.
5️⃣ ✔ Pergunta de Atenção:
Já percebeu como dobrar um lado do quadrado não dobra a área, mas quadruplica? E isso afeta diretamente o volume!
6️⃣ 💬 Dúvida Comum:
Alguns alunos pensam que duplicar uma medida da base dobra o volume, mas se esquecem de que o volume envolve área da base × altura. E a área da base cresce com o quadrado da aresta!
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
O volume de um prisma com base quadrada é dado por:V = área da base × altura = x² · h, onde x é a aresta da base e h a altura
Se duplicamos a aresta da base, ela passa de x para 2x
A nova base tem área:(2x)² = 4x²
Portanto, o novo volume será:V = 4x² · h = 4 · volume original
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
- Modelo original:
- Aresta da base:
x - Altura:
h - Volume:
V₁ = x² · h
- Aresta da base:
- Novo modelo:
- Aresta da base:
2x - Altura:
h(mantida) - Volume:
V₂ = (2x)² · h = 4x² · h = 4V₁
- Aresta da base:
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Vamos formalizar:
- Volume original:
V₁ = x² · h - Volume novo:
V₂ = (2x)² · h = 4x² · h = 4V₁
✅ O novo volume é 4 vezes maior.
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) Oito vezes maior → ❌ Isso aconteceria se as três dimensões fossem duplicadas
B) Quatro vezes maior → ✅ Correto: duplicar a aresta da base quadrada → 4x mais volume
C) Duas vezes maior → ❌ Errado, não condiz com o crescimento quadrático
D) A metade → ❌ Contradiz o aumento
E) A quarta parte → ❌ Seria se a base fosse reduzida pela metade
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
✅ Ao duplicar a aresta da base quadrada de um prisma e manter a altura, o volume total do novo modelo torna-se quatro vezes maior que o original.
✅ Gabarito: Letra B
