Um sistema de polias circulares e correias é um dos mecanismos responsáveis pela transmissão de movimento em máquinas rotativas. O manual de um motor traz uma figura representando um sistema composto por duas polias e uma correia de transmissão, tensionada e perfeitamente ajustada sobre as polias, de modo a não apresentar folgas nos contatos com as polias. Considere que as partes dessa correia que não ficam em contato com as polias são representadas por segmentos de reta tangentes às polias.
Para substituição dessa correia, é necessária a especificação de seu comprimento.
Considere 3 como valor aproximado para π.
A medida do comprimento dessa correia, em centímetro, é
A) 54
B) 60
C) 66
D) 68
E) 72
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Plana (Comprimento da Circunferência e de Arcos)
- Interpretação de Desenho Técnico
- Tema/Objetivo Geral: Calcular o perímetro de uma figura mista (composta por segmentos de reta e arcos de círculo), aplicando fórmulas de comprimento de circunferência e proporção angular.
- Nível da Questão: Médio.
- Requer a aplicação de fórmulas geométricas básicas, mas exige atenção para identificar o ângulo correto da polia maior (que não está explícito numericamente, mas é dedutível geometricamente).
- Gabarito: D
- A alternativa está correta. O comprimento total é a soma dos dois segmentos retos (30 cm) com o arco da polia menor (10 cm) e o arco da polia maior (28 cm), totalizando 68 cm.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Imagine que você precisa comprar uma correia nova para essa máquina. Qual é o tamanho total dela se você esticá-la no chão? Temos que somar as partes retas e as partes curvas.”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como uma Pista de Corrida.
A pista tem duas retas opostas (as tangentes) e duas curvas nas pontas (as voltas nas polias).
- As retas são fáceis: o desenho já deu o tamanho.
- As curvas são pedaços de pizza (fatias da circunferência). Precisamos calcular o tamanho da borda dessas fatias.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Somar as Retas: Identificar e somar os segmentos tangentes.
- Calcular a Curva Pequena: Usar o raio (r) e o ângulo dado (150º).
- Calcular a Curva Grande: Deduzir o ângulo da polia maior e calcular seu arco com o raio (R).
- O Veredito: Somar tudo.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este caso, precisamos da Fórmula do Arco de Circunferência.
DOSSIÊ: O CÁLCULO DA BORDA DA PIZZA
1. A Circunferência Completa:
A borda total de um círculo é dada por: C = 2 . pi . r
(Lembre-se: O enunciado mandou usar pi = 3).
2. O Pedaço da Circunferência (Arco):
Se não queremos a volta inteira (360º), fazemos uma regra de três simples:
Comprimento do Arco = (Ângulo / 360) . C
3. A Regra das Polias:
Em um sistema de correia aberta (como este), a soma dos ângulos de contato das duas polias é sempre 360º.
- Se a polia pequena abraça 150º…
- A polia grande obrigatoriamente abraça o resto: 360 – 150 = 210º.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos medir nossa pista de corrida parte por parte.
1. As Retas (Parte Fácil):
O desenho mostra dois segmentos de reta de 15 cm (um em cima, um embaixo).
Soma das Retas = 15 + 15 = 30 cm.
2. A Curva da Polia Menor (Raio = 4 cm, Ângulo = 150º):
- Circunferência Total (se fosse inteira): C = 2 . 3 . 4 = 24 cm.
- Fração da Curva: 150 / 360.
- Simplificando a fração (corta zero e divide por 3): 15/36 = 5/12.
- Tamanho do Arco Menor: (5/12) . 24
- 24 dividido por 12 dá 2.
- 5 vezes 2 = 10 cm.
3. A Curva da Polia Maior (Raio = 8 cm, Ângulo = 210º):
- Primeiro, descobrimos o ângulo: 360 – 150 = 210º.
- Circunferência Total: C = 2 . 3 . 8 = 48 cm.
- Fração da Curva: 210 / 360.
- Simplificando a fração (corta zero e divide por 3): 21/36 = 7/12.
- Tamanho do Arco Maior: (7/12) . 48
- 48 dividido por 12 dá 4.
- 7 vezes 4 = 28 cm.
4. O Comprimento Total:
Total = Retas + Arco Menor + Arco Maior
Total = 30 + 10 + 28 = 68 cm.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é calcular a circunferência inteira das polias (como se a correia desse uma volta completa em cada uma) e somar com as retas.
- Se você fizesse isso: (2.3.4) + (2.3.8) + 30 = 24 + 48 + 30 = 102 cm.
- A correia não dá a volta toda! Ela só encosta em uma parte. Você precisa multiplicar pela fração do ângulo (150/360 e 210/360).
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Dividimos o problema em 4 partes (2 retas + 2 arcos). Usamos a geometria para deduzir que o ângulo da polia maior era o suplementar de 360º do ângulo da menor. Calculamos cada pedaço e somamos.
- Expectativa: O valor deve ser a soma exata 30 + 10 + 28 = 68.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 54
- A “Narrativa do Erro”: Possível erro de cálculo nos arcos, talvez usando o mesmo ângulo de 150º para as duas polias ou errando a multiplicação.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) 60
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter calculado corretamente as retas (30) e o arco menor (10), mas errou grosseiramente o arco maior (achando que era 20, talvez por uma falsa proporção direta com o arco menor sem considerar o ângulo).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
C) 66
- A “Narrativa do Erro”: Erro de aproximação ou cálculo aritmético. Está muito perto da resposta, o que sugere um tropeço na simplificação das frações (5/12 ou 7/12).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) 68
- Análise de Correspondência: Perfeita. Corresponde exatamente à soma dos segmentos tangentes (30) com os comprimentos proporcionais dos arcos (10 + 28).
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
E) 72
- A “Narrativa do Erro”: Superestimação. O candidato pode ter usado pi = 3,14 e arredondado para cima incorretamente, ou considerado uma volta completa em alguma das polias.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa D é a correta. Geometria de máquinas não é sobre fórmulas mágicas, mas sobre decompor problemas complexos em formas simples: retas e arcos.
Resumo-flash (A Imagem Mental): A correia é um abraço incompleto: calcule o abraço pequeno, o abraço grande e some com os braços esticados.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esse cálculo é fundamental na Engenharia Mecânica e na Manutenção Industrial. Ao projetar o motor de um carro, o engenheiro precisa calcular o comprimento exato da “Correia Dentada” ou da “Correia de Acessórios” (que liga o alternador, ar condicionado, direção hidráulica). Se a conta estiver errada por milímetros, o esticador (tensor) não funciona: ou a correia fica frouxa e patina (fazendo aquele barulho agudo de guincho), ou fica apertada demais e estoura os rolamentos. A matemática que você usou aqui garante que seu carro não te deixe na mão.
