Em uma universidade, atuam professores que estão enquadrados funcionalmente pela sua maior titulação: mestre ou doutor. Nela há, atualmente, 60 mestres e 40 doutores. Os salários mensais dos professores mestres e dos doutores são, respectivamente, R$ 8 000,00 e R$ 12 000,00.
A diretoria da instituição pretende proporcionar um aumento salarial diferenciado para o ano seguinte, de tal forma que o salário médio mensal dos professores dessa instituição não ultrapasse R$ 12 240,00. A universidade já estabeleceu que o aumento salarial será de 25% para os mestres e precisa ainda definir o percentual de reajuste para os doutores.
Mantido o número atual de professores com suas atuais titulações, o aumento salarial, em porcentagem, a ser concedido aos doutores deverá ser de, no máximo,
A) 14,4.
B) 20,7.
C) 22,0.
D) 30,0.
E) 37,5
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Regra de três, média ponderada, aumento percentual.
Nível da Questão:
- Médio.
Gabarito:
- D.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomada do Comando:
O enunciado informa que, em uma universidade, há 60 professores mestres com salário de R$ 8 000,00 e 40 doutores com salário de R$ 12 000,00. Foi decidido aumentar os salários dos mestres em 25% e definir um aumento para os doutores de forma que o salário médio de todos os professores não ultrapasse R$ 12 240,00.
🔹 O que o Comando Pede:
Determinar o percentual máximo de aumento que deve ser concedido aos doutores para que a média salarial não exceda R$ 12 240,00.
✔ Palavras-Chave:
“25% para mestres”, “salário médio”, “não ultrapassar R$ 12 240,00”, “percentual de aumento para doutores”.
✔ Objetivo:
Calcular o aumento percentual para os doutores que, juntamente com o aumento de 25% para os mestres, garanta que a média ponderada dos salários de todos os 100 professores seja, no máximo, R$ 12 240,00.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
🔹 Média Ponderada:
- A média ponderada leva em conta o peso (número de professores) de cada grupo.
🔹 Aumento Percentual:
- Um aumento de 25% significa multiplicar o valor original por 1,25; se o aumento dos doutores for de p%, seu novo salário será 12 000 vezes (1 + p), onde p é o aumento expresso como decimal.
✔ Relação com o Problema:
Esses conceitos são usados para calcular os novos salários e determinar a média ponderada total que não deve exceder R$ 12 240,00.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Contexto da Questão:
- Há dois grupos de professores: 60 mestres e 40 doutores.
- O salário dos mestres aumenta 25%, passando de R$ 8 000,00 para 8 000 × 1,25.
- O salário dos doutores, atualmente de R$ 12 000,00, será aumentado por um fator desconhecido, que chamaremos de (1 + p).
- A média ponderada dos salários, após os reajustes, deve ser no máximo R$ 12 240,00.
🔹 Frases-Chave:
- “aumento salarial será de 25% para os mestres”
- “salário médio mensal não ultrapasse R$ 12 240,00”
🔹 Interpretação:
Devemos encontrar o valor de p que, quando aplicado aos doutores, junto com o aumento dos mestres, resulte em uma média salarial de R$ 12 240,00 para os 100 professores.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Desenvolvimento Passo a Passo:
- Novo Salário dos Mestres:
- Salário original = R$ 8 000,00.
- Com aumento de 25%, novo salário = 8 000 × 1,25 = R$ 10 000,00.
- Novo Salário dos Doutores:
- Salário original = R$ 12 000,00.
- Se o aumento for de p, o novo salário = 12 000 × (1 + p).
- Cálculo da Média Ponderada:
- Total de professores = 60 + 40 = 100.
- Soma dos salários dos mestres = 60 × 10 000 = 600 000.
- Soma dos salários dos doutores = 40 × 12 000 × (1 + p) = 480 000 × (1 + p).
- Média salarial = (600 000 + 480 000 × (1 + p)) ÷ 100.
- Estabelecendo a Condição da Média:
- A média não pode ultrapassar R$ 12 240,00, então:
(600 000 + 480 000 × (1 + p)) ÷ 100 = 12 240.
- A média não pode ultrapassar R$ 12 240,00, então:
- Resolver a Equação:
- Multiplicando ambos os lados por 100, temos:
600 000 + 480 000 × (1 + p) = 1 224 000. - Simplificando:
480 000 × (1 + p) = 1 224 000 – 600 000 = 624 000. - Dividindo por 480 000:
1 + p = 624 000 ÷ 480 000 = 1,3. - Portanto, p = 1,3 – 1 = 0,3, ou seja, 30%.
- Multiplicando ambos os lados por 100, temos:
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Alternativas:
- A) 14,4
- B) 20,7
- C) 22,0
- D) 30,0
- E) 37,5
✅ Alternativa Correta – D:
- Explicação: O cálculo mostrou que para que a média salarial não ultrapasse R$ 12 240,00, o aumento para os doutores deve ser de 30%, ou seja, o novo salário passa de R$ 12 000,00 para R$ 15 600,00.
❌ Alternativas Incorretas:
- A, B, C e E: Não correspondem ao valor de 30% encontrado no cálculo.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
Os 60 mestres, com salário reajustado de R$ 10 000,00 (após um aumento de 25%), e os 40 doutores, cujo salário será aumentado para 12 000 × (1 + p), devem ter uma média ponderada de R$ 12 240,00. Montando a equação e resolvendo para p, encontramos que p é igual a 0,3, ou seja, um aumento de 30% para os doutores.
✅ Reafirmação da Alternativa Correta:
A alternativa D (30,0%) é a resposta correta.
🔍 Resumo Final:
🔍 Portanto, para manter a média salarial mensal abaixo ou igual a R$ 12 240,00, os doutores devem receber um aumento de 30%, confirmando a alternativa D como correta.
