Em uma universidade, atuam professores que estão enquadrados funcionalmente pela sua maior titulação: mestre ou doutor. Nela há, atualmente, 60 mestres e 40 doutores. Os salários mensais dos professores mestres e dos doutores são, respectivamente, R$ 8 000,00 e R$ 12 000,00.
A diretoria da instituição pretende proporcionar um aumento salarial diferenciado para o ano seguinte, de tal forma que o salário médio mensal dos professores dessa instituição não ultrapasse R$ 12 240,00. A universidade já estabeleceu que o aumento salarial será de 25% para os mestres e precisa ainda definir o percentual de reajuste para os doutores.
Mantido o número atual de professores com suas atuais titulações, o aumento salarial, em porcentagem, a ser concedido aos doutores deverá ser de, no máximo,
A) 14,4.
B) 20,7.
C) 22,0.
D) 30,0.
E) 37,5
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática Financeira (Porcentagem, Aumento Percentual) e Estatística Básica (Média Aritmética Ponderada).
Tema/Objetivo Geral
Planejamento Financeiro Coletivo. O objetivo é ajustar individualmente o salário de um subgrupo (doutores) para que a média salarial de todo o grupo (mestres + doutores) atinja um valor específico pré-determinado.
Nível da Questão: Médio
- Exige a combinação de três etapas lógicas: aplicar o aumento percentual no primeiro grupo, calcular o total da folha salarial permitida e usar a diferença para encontrar o aumento percentual do segundo grupo. Um erro de cálculo em qualquer etapa compromete o resultado final.
Gabarito: Alternativa D
- Para que a média geral seja de 12.240 reais, os doutores devem receber um aumento de 30% sobre o salário original de 12.000 reais.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A universidade tem um “Teto de Média”. A média salarial de todos os 100 professores não pode passar de 12.240 reais. Os mestres já ganharam o aumento deles (25%). Precisamos descobrir qual é a porcentagem máxima de aumento que podemos dar aos doutores sem estourar esse teto da média geral.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma festa “rachada” entre 100 pessoas. A conta média por pessoa não pode passar de 12.240 reais.
- 60 pessoas (os mestres) vão pagar um valor fixo novo (com 25% a mais).
- 40 pessoas (os doutores) vão pagar o resto da conta.
A pergunta é: quanto, em porcentagem, a conta desses 40 aumentou?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Calcular o Novo Salário dos Mestres: Aplicar os 25% de aumento.
- Calcular o “Pote Total” de Dinheiro: Descobrir qual é o valor máximo que a universidade pode gastar com todos os salários (Baseado na média limite).
- Descontar a Parte dos Mestres: Subtrair o custo dos mestres do Pote Total para ver quanto sobra para os doutores.
- Descobrir a Porcentagem: Calcular de quanto foi o aumento dos doutores com base no dinheiro que sobrou para eles.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
FICHA TÉCNICA: OS GRUPOS
- Grupo M (Mestres): 60 pessoas. Salário antigo: 8.000.
- Grupo D (Doutores): 40 pessoas. Salário antigo: 12.000.
- Total de Professores: 60 + 40 = 100 pessoas.
Conceito de Média Inversa:
Se a média é “Soma Total dividida pela Quantidade”, então a Soma Total é igual à “Média multiplicada pela Quantidade”.
- Fórmula: Total = Média * N
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos seguir o plano passo a passo.
1. O Novo Salário dos Mestres:
Eles ganhavam 8.000 e tiveram 25% de aumento.
- 25% de 8.000 = 8.000 / 4 = 2.000.
- Novo Salário = 8.000 + 2.000 = 10.000 reais.
- Custo Total dos Mestres: 60 professores * 10.000 = 600.000 reais.
2. O “Pote Total” (O Limite da Universidade):
A média máxima permitida é 12.240 para 100 professores.
- Gasto Total Máximo = 12.240 * 100 = 1.224.000 reais.
3. Quanto sobra para os Doutores?
Do Pote Total, tiramos a parte que já está comprometida com os mestres.
- Sobra para Doutores = Gasto Total – Custo Mestres
- Sobra = 1.224.000 – 600.000
- Sobra = 624.000 reais.
Isso é o que temos para dividir entre os 40 doutores.
4. O Novo Salário Individual do Doutor:
- Novo Salário = 624.000 / 40
- Cortando o zero: 62.400 / 4
- Novo Salário = 15.600 reais.
5. A Porcentagem do Aumento:
O salário era 12.000 e foi para 15.600.
- Aumento em dinheiro: 15.600 – 12.000 = 3.600 reais.
- Porcentagem: (Aumento / Salário Antigo) * 100
- Conta: (3.600 / 12.000) * 100
- Simplificando (corta dois zeros): 36 / 120 * 100
- 36 / 12 = 3.
- Logo, 3.600 é 30% de 12.000.
- Aumento = 30%.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Muitos alunos tentam resolver isso fazendo a média das porcentagens.
Eles pensam: “Se a média salarial aumentou X%, e os mestres aumentaram 25%, então os doutores aumentaram Y%”.
Isso é perigoso porque os salários base são muito diferentes (8k vs 12k). O peso do aumento de 25% sobre 8k é diferente do peso de um aumento sobre 12k. Trabalhar com os valores absolutos (dinheiro total) é sempre mais seguro do que trabalhar com média de porcentagens.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: Calculamos a folha total permitida, descontamos os mestres e achamos o aumento necessário para os doutores preencherem o restante.
Expectativa: Um valor exato de 30%.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
(A) 14,4.
Diagnóstico do Erro: Cálculo Aleatório.
Valor baixo demais, possivelmente resultante de algum erro na divisão do montante total.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) 20,7.
Diagnóstico do Erro: Confusão de Pesos.
Pode surgir se o aluno tentar fazer uma média ponderada direta entre as porcentagens sem considerar os valores dos salários base.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) 22,0.
Diagnóstico do Erro: Erro de Aritmética.
Valor próximo, mas incorreto.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) 30,0.
Análise de Correspondência: Bate exatamente com o cálculo da variação percentual de 12.000 para 15.600. (3.600 é 30% de 12.000).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(E) 37,5.
Diagnóstico do Erro: Inversão de Base.
Se o aluno calcular a porcentagem do aumento (3.600) em relação ao salário do mestre ou outro valor base incorreto, pode chegar a números distorcidos.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é a Alternativa D. O segredo foi transformar a “Média” em “Soma Total” para facilitar as contas.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Média é fantasia, Soma Total é realidade. Descubra quanto dinheiro tem na mesa antes de dividir o bolo.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este é o princípio básico do Teto de Gastos ou do Fair Play Financeiro no futebol. O clube tem um limite de gastos com salários. Se você der um aumento grande para o craque do time (Mestres), sobra menos dinheiro no “pote” para aumentar o salário do resto do elenco (Doutores), ou o clube estoura o orçamento e é punido.
