Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por
a) 9!
b) 4! 5!
c) 2 × 4! 5!
d) 9!/2
e) 4! 5!/2
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Análise combinatória
- Anagramas
- Princípio Fundamental da Contagem
- Permutação com Restrições
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Letra E.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão trata da contagem de anagramas da frase “I AM POTTER”, com a restrição de que as vogais e consoantes devem estar intercaladas. Além disso, não devemos considerar espaços na contagem.
Palavras-chave e objetivo:
- Anagrama: É uma reorganização das letras de uma palavra ou frase.
- Vogais e consoantes intercaladas: Cada vogal deve estar entre duas consoantes e vice-versa.
- Objetivo: Determinar o número total de anagramas possíveis respeitando essa regra.
Passo 2: Tradução e Interpretação do Texto
A frase “I AM POTTER” contém 9 letras no total, sendo:
- 4 vogais: I, A, O, E.
- 5 consoantes: M, P, T, T, R.
Como há mais consoantes do que vogais, a estrutura da palavra precisa começar com uma consoante para que a intercalação seja possível:
C−V−C−V−C−V−C−V−C
Vamos criar os anagramas por partes, escolhendo as letras conforme a estrutura.
1. Escolhendo as consoantes
Sabemos que os anagramas precisam começar com uma consoante. Vamos organizar essas 5 consoantes:
- Escolhemos a primeira consoante: temos 5 opções (M, P, T, T, R).
- Escolhemos a segunda consoante: restam 4 opções.
- Escolhemos a terceira consoante: restam 3 opções.
- Escolhemos a quarta consoante: restam 2 opções.
- Escolhemos a quinta consoante: resta 1 opção.
Se todas as consoantes fossem diferentes, teríamos:
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5!
Mas como a letra “T” se repete duas vezes, há anagramas repetidos que devemos eliminar. Para corrigir isso, dividimos por 2! (o número de formas de reorganizar as letras T idênticas).
Portanto, a contagem correta das consoantes é:
2. Escolhendo as vogais
Agora organizamos as 4 vogais (I, A, O, E), que vão preencher os espaços restantes:
- Escolhemos a primeira vogal: temos 4 opções.
- Escolhemos a segunda vogal: restam 3 opções.
- Escolhemos a terceira vogal: restam 2 opções.
- Escolhemos a quarta vogal: resta 1 opção.
Como todas as vogais são diferentes, temos:
4 × 3 × 2 × 1 = 4!
3. Considerando a Ordem das Letras
Se não houvesse restrições, poderíamos simplesmente calcular 9! para encontrar o número total de anagramas das 9 letras. No entanto, o critério de intercalação exige que as vogais fiquem sempre nas posições reservadas para vogais e as consoantes nas posições de consoantes. Isso significa que, em vez de podermos organizar livremente todas as 9 letras, precisamos organizar separadamente as vogais e as consoantes dentro de seus próprios espaços, o que reduz o número total de combinações possíveis.
Isso significa que o número total de anagramas será:
Passo 3: Explicação de conceitos necessários
Agora que construímos o raciocínio passo a passo, podemos traduzir para a linguagem matemática:
O que é permutação?
Permutação é uma maneira de organizar elementos em todas as ordens possíveis.
Por exemplo, se tivermos as letras A, B e C, podemos formar os seguintes anagramas:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Se contarmos, temos 6 formas diferentes de organizar essas 3 letras. Isso é exatamente o que chamamos de permutação. Logo:
- A permutação das consoantes (levando em conta a repetição de “T”) é:
- A permutação das vogais é:
- O número total de anagramas é:
Isso confirma a alternativa correta: Letra E.
Passo 4: Análise das Alternativas e Resolução
a) 9!: Errada. Isso consideraria todas as letras livres para qualquer posição, sem respeitar a alternância entre vogais e consoantes.
b) 4! 5!: Errada. Essa fórmula ignora a repetição do T, então conta os anagramas duplicados.
c) 2 × 4! 5!: Errada. Multiplicar por 2 aumentaria a contagem, quando na verdade precisamos dividir por 2.
d) 9!/2: Errada. Considera a repetição do T, mas ignora a alternância entre vogais e consoantes.
e) 4! 5!/2: Correta. Esse cálculo corresponde exatamente ao nosso processo.
Portanto, a alternativa correta é Letra E.
Passo 5: Conclusão e Justificativa Final
A estrutura fixa dos anagramas obriga a organização separada de vogais e consoantes, reduzindo as possibilidades de organização livre. Construímos o raciocínio passo a passo para chegar ao resultado correto:
- Organizamos as consoantes, levando em conta a repetição do “T”.
- Organizamos as vogais.
- Dividimos por 2, pois a estrutura alternada fixa a ordem das letras.
O resultado final:
Alternativa correta: Letra E
