Um agricultor sabe que a colheita da safra de soja será concluída em 120 dias caso utilize, durante 10 horas por dia, 20 máquinas de um modelo antigo, que colhem 2 hectares por hora. Com o objetivo de diminuir o tempo de colheita, esse agricultor optou por utilizar máquinas de um novo modelo, que operam 12 horas por dia e colhem 4 hectares por hora.
Quantas máquinas do novo modelo ele necessita adquirir para que consiga efetuar a colheita da safra em 100 dias?
A) 7
B) 10
C) 15
D) 40
E) 58
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Regra de Três Composta
- Análise de Proporcionalidade (Direta e Inversa)
- Operações Aritméticas Básicas
Tema/Objetivo Geral: Calcular a quantidade de recursos (máquinas) necessários para realizar um trabalho fixo sob novas condições de tempo e produtividade.
Nível da Questão: Médio.
- Detalhe do nível: A questão é de nível médio, pois envolve múltiplas grandezas (máquinas, horas, dias, produção) que se relacionam de maneiras diferentes (umas direta, outras inversamente). Exige organização e uma compreensão clara de como as variáveis se influenciam para montar o cálculo corretamente, indo além de uma simples regra de três.
Gabarito: Alternativa B.
- A alternativa está correta porque, para realizar o mesmo trabalho total (colher 48.000 hectares), o aumento na produtividade das máquinas e nas horas de trabalho diário mais do que compensa a redução no tempo, resultando na necessidade de 10 máquinas do novo modelo.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Quantas máquinas do novo modelo ele necessita adquirir para que consiga efetuar a colheita da safra em 100 dias?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício quer saber o número de máquinas novas (mais eficientes) que o agricultor precisa para colher a mesma safra, mas com mudanças no tempo de colheita, na carga horária diária e na produtividade das máquinas.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular o número exato de máquinas do novo modelo necessárias para completar a tarefa.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que o “trabalho” a ser feito – a quantidade total de hectares de soja a ser colhida – é o mesmo nas duas situações? Esse é o elo que conecta o cenário antigo com o novo!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Este é um problema de “taxa de trabalho”. A ideia central é que o trabalho total realizado é o produto de todos os fatores que contribuem para ele.
- Grandezas Envolvidas:
- Número de Máquinas (M): Quantas máquinas estão trabalhando.
- Horas por Dia (H): O tempo que cada máquina opera por dia.
- Número de Dias (D): A duração total da colheita.
- Produtividade (P): A eficiência de cada máquina (hectares por hora).
- Fórmula do Trabalho Total: O tamanho total da safra (em hectares) pode ser encontrado multiplicando todas essas grandezas.
Trabalho Total = M * H * D * P
- Proporcionalidade:
- Inversamente Proporcional: Se você quer fazer um trabalho em menos dias, precisa de mais máquinas. Se as máquinas são mais produtivas, você precisa de menos máquinas.
- Exemplo do cotidiano: Pense em pintar um muro. Se você chamar mais amigos (aumentar o número de “máquinas”), levará menos tempo (dias) para terminar. A relação é inversa.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Um fazendeiro quer colher sua enorme plantação de soja. O plano antigo, com máquinas velhas, levaria 120 dias. Ele quer fazer o mesmo serviço em apenas 100 dias. Para isso, ele vai usar máquinas novas que são o dobro mais rápidas e vai fazer o pessoal trabalhar 12 horas por dia em vez de 10. A pergunta é: quantas dessas supermáquinas ele vai precisar?
3.2 Estratégia Geral
O plano mais seguro é em duas etapas:
- Primeiro, usamos os dados do cenário antigo (máquinas velhas) para calcular o tamanho total da safra em hectares. Esse valor não muda.
- Depois, usamos esse tamanho total da safra e os dados do cenário novo (máquinas novas) para descobrir o número de máquinas que falta.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos aplicar nossa estratégia.
Etapa 1: Calcular o Trabalho Total (tamanho da safra)
Usaremos os dados do cenário antigo:
- Máquinas (M): 20
- Horas por dia (H): 10
- Dias (D): 120
- Produtividade (P): 2 hectares/hora
Trabalho Total = M * H * D * P
Trabalho Total = 20 * 10 * 120 * 2
Trabalho Total = 200 * 120 * 2
Trabalho Total = 24.000 * 2
Trabalho Total = 48.000 hectares
4.2 Verificação Intermediária
Descobrimos o valor-chave: a safra inteira tem 48.000 hectares. É esse o trabalho que precisa ser feito no segundo cenário.
Etapa 2: Calcular o número de máquinas novas (vamos chamar de X)
Agora, usamos os dados do cenário novo para o mesmo trabalho total:
- Trabalho Total: 48.000 hectares
- Máquinas (M): X (é o que queremos descobrir)
- Horas por dia (H): 12
- Dias (D): 100
- Produtividade (P): 4 hectares/hora
Usando a mesma fórmula:
Trabalho Total = M * H * D * P
48.000 = X * 12 * 100 * 4
48.000 = X * (1200 * 4)
48.000 = X * 4800
Agora, isolamos o X:
X = 48.000 / 4800
X = 10
4.3 Possível armadilha
Uma armadilha comum é se confundir com as relações de proporcionalidade. Você pode pensar que, por as máquinas serem duas vezes mais produtivas (de 2 para 4), o número de máquinas cairia pela metade (de 20 para 10) e parar aí. Porém, isso seria um erro, pois não considera a mudança no número de dias e nas horas trabalhadas, que também afetam o resultado final. A beleza do método de “calcular o trabalho total” é que ele organiza todas essas variáveis de uma vez só, evitando confusão.
4.4 fechamento e expectativa
O cálculo nos levou a um resultado exato de 10 máquinas do novo modelo. Agora, vamos verificar se essa resposta está disponível nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
a) 7
b) 10
c) 15
d) 40
e) 58
5.2 Justificativa Individual
- a) 7 – 🔴 Incorreta. Provavelmente resultado de um erro de cálculo ou de uma montagem incorreta das proporções.
- b) 10 – 🟢 Correta. Este valor corresponde exatamente ao nosso cálculo, que equilibra todas as novas condições para realizar o mesmo trabalho total.
- c) 15 – 🔴 Incorreta. Um erro de cálculo na divisão final poderia levar a este resultado.
- d) 40 – 🔴 Incorreta. Este valor poderia surgir de uma confusão, talvez dobrando o número inicial de máquinas porque a produtividade dobrou, ignorando os outros fatores.
- e) 58 – 🔴 Incorreta. Valor muito distante, provavelmente vindo de um erro grave na estruturação do problema.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi obtida em duas etapas: primeiro, calculamos o tamanho total do trabalho (a área da safra) com base nos dados iniciais. Em segundo lugar, usamos essa constante de trabalho com as novas variáveis para isolar e encontrar o número de máquinas necessárias.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B), 10 máquinas.
6.3 Resumo Final para Revisão
🔍 Em problemas de trabalho com muitas variáveis, a maneira mais segura de resolver é calcular o “tamanho total da tarefa” primeiro. Ele é o valor fixo que conecta a situação antiga com a nova.
