Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha.
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de
A) 920 kg.
B) 800 kg.
C) 720 kg.
D) 600 kg.
E) 570 kg.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Razão e Proporção
- Regra de Três Composta
- Interpretação de Problemas
Tema/Objetivo Geral:
- Calcular a produção total em um cenário dividido em duas fases, onde múltiplas variáveis (número de trabalhadores, horas trabalhadas) se alteram.
Nível da Questão
- Médio – A questão é de nível médio porque envolve um problema em duas etapas distintas. Não basta aplicar uma única fórmula; é preciso primeiro calcular o resultado da fase inicial, depois usar esses dados para determinar a produtividade e, por fim, aplicar essa produtividade às novas condições da segunda fase, exigindo organização e raciocínio sequencial.
Gabarito
- A) 920 kg. – Esta alternativa está correta pois representa a soma da quantidade arrecadada na primeira fase (120 kg) com a quantidade arrecadada na segunda fase (800 kg), após o aumento no número de alunos e na carga horária.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A pergunta que precisamos responder é: “a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de…”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede o total de quilogramas de alimentos arrecadados durante os 30 dias da campanha, considerando as mudanças nas condições de trabalho após os primeiros 10 dias.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular a arrecadação em cada uma das duas fases da campanha e, ao final, somar esses dois valores para encontrar o total.
1.4 Pergunta de Atenção
Você notou que o problema tem duas fases com condições completamente diferentes (número de alunos e horas de trabalho)? A chave para não se confundir é tratar cada fase como um cálculo separado antes de juntar os resultados.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Grandezas Diretamente Proporcionais: Neste problema, todas as grandezas (número de alunos, horas trabalhadas, dias) são diretamente proporcionais à quantidade arrecadada. Isso significa que, se você dobrar o número de alunos, a arrecadação também dobra (mantendo o resto constante).
- Taxa de Produtividade (ou Ritmo): Para resolver problemas com múltiplas variáveis, é útil encontrar uma taxa constante. Neste caso, podemos descobrir a “eficiência” de um único aluno em uma hora de trabalho. Essa taxa, medida em “kg por aluno por hora”, não muda ao longo do problema e simplifica os cálculos.
- Regra de Três Composta: É a ferramenta usada para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas proporcionais ao mesmo tempo. A ideia de calcular a taxa de produtividade é uma forma intuitiva de aplicar a lógica da regra de três composta.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos pensar na campanha como um projeto em duas etapas:
- Etapa 1 (10 dias): Um time pequeno (20 alunos) trabalha um pouco (3 horas/dia).
- Etapa 2 (20 dias restantes): O time recebe reforços (mais 30 alunos) e aumenta o ritmo de trabalho (4 horas/dia).
Nossa missão é calcular quantos quilos foram juntados na Etapa 1, quantos foram juntados na Etapa 2, e depois somar tudo.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Calcular a arrecadação total da primeira fase (os primeiros 10 dias).
- Descobrir a taxa de produtividade constante (quantos kg cada aluno arrecada por hora).
- Usar essa taxa para calcular a nova arrecadação diária na segunda fase.
- Multiplicar a arrecadação diária da segunda fase pelos dias restantes para achar o total dessa fase.
- Somar os totais das duas fases.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Fase 1: Cálculo da arrecadação nos primeiros 10 dias.
O enunciado nos dá essa informação diretamente:
- Arrecadação diária = 12 kg
- Duração da fase 1 = 10 dias
- Total arrecadado na Fase 1 = 12 kg/dia * 10 dias = 120 kg
Cálculo da taxa de produtividade constante:
Para descobrir a eficiência do grupo, vamos calcular quantos “aluno-horas” de trabalho geram 12 kg.
- “Esforço” diário na Fase 1 = 20 alunos * 3 horas/dia = 60 aluno-horas por dia.
Isso significa que um esforço de 60 “aluno-horas” resulta em 12 kg de alimentos. Agora, achamos a produtividade por cada “aluno-hora”. - Taxa de Produtividade = 12 kg / 60 aluno-horas = 0,2 kg por aluno-hora.
Essa é a nossa constante: cada aluno, a cada hora, arrecada 0,2 kg de alimento.
Fase 2: Cálculo da arrecadação nos 20 dias restantes.
Primeiro, vamos definir as novas condições:
- Dias restantes = 30 dias (total) – 10 dias (iniciais) = 20 dias.
- Novo número de alunos = 20 (iniciais) + 30 (novos) = 50 alunos.
- Nova carga horária = 4 horas por dia.
Agora, calculamos o novo “esforço” diário e a nova arrecadação diária usando nossa taxa de produtividade.
- Novo “Esforço” diário = 50 alunos * 4 horas/dia = 200 aluno-horas por dia.
- Nova arrecadação diária = 200 aluno-horas/dia * 0,2 kg/aluno-hora = 40 kg por dia.
Finalmente, calculamos o total arrecadado nesta segunda fase:
- Total arrecadado na Fase 2 = 40 kg/dia * 20 dias = 800 kg
Cálculo Final: Arrecadação total da campanha.
Total = Total da Fase 1 + Total da Fase 2
Total = 120 kg + 800 kg
Total = 920 kg
4.2 Verificação Intermediária
Os resultados são coerentes. Com mais gente trabalhando por mais tempo, é esperado que a arrecadação na segunda fase (800 kg) seja muito maior que na primeira (120 kg). Os cálculos parecem corretos.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum seria esquecer de somar a arrecadação da primeira fase (120 kg) ao resultado da segunda, levando à resposta incorreta de 800 kg (alternativa B). Outro erro seria não calcular os dias restantes (20) e usar os 30 dias totais no segundo cálculo.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a um total de 920 kg arrecadados. Esperamos encontrar este valor exato entre as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) 920 kg.
- B) 800 kg.
- C) 720 kg.
- D) 600 kg.
- E) 570 kg.
5.2 Justificativa Individual
- 🟢 (A) 920 kg: Correto. Corresponde à soma exata do que foi arrecadado na primeira fase (120 kg) e na segunda fase (800 kg).
- 🔴 (B) 800 kg: Incorreto. Este é o valor arrecadado apenas na segunda fase da campanha. O erro foi não somar a arrecadação da primeira fase.
- 🔴 (C) 720 kg: Incorreto. Provavelmente resultado de um erro de cálculo, como multiplicar 20 alunos * 4h * 20 dias e somar com a fase 1.
- 🔴 (D) 600 kg: Incorreto. Provavelmente resultado de um erro de cálculo.
- 🔴 (E) 570 kg: Incorreto. Provavelmente resultado de um erro de cálculo.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O problema foi resolvido dividindo a campanha em duas fases. Calculamos a arrecadação da primeira fase, determinamos a taxa de produtividade constante ( kg/aluno/hora ) e aplicamos essa taxa às novas condições da segunda fase para encontrar sua arrecadação. A soma dos totais de ambas as fases nos deu o resultado final.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A, que corresponde a 920 kg.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas com diferentes etapas, o segredo é dividir para conquistar. Calcule o resultado de cada etapa separadamente e só no final junte tudo. E lembre-se de procurar por uma “taxa constante” que conecte as diferentes fases do problema.
