O filme A corrente do bem conta a história de um jovem que crê ser possível mudar o mundo a partir da ação voluntária de cada um. A ideia é baseada em três premissas: fazer por alguém algo que este não pode fazer por si mesmo; fazer isso para três pessoas; cada pessoa ajudada deve fazer isso por outras três pessoas.
Da mesma forma que temos a “corrente do bem” para 3 pessoas, podemos ter uma corrente do bem para um número qualquer de pessoas. Suponha que uma corrente do bem seja iniciada numa segunda-feira, com X pessoas sendo ajudadas, e que cada uma dessas X pessoas ajudasse outras X pessoas exatamente 24 horas após ter recebido a ação voluntária.
Disponível em: www.webcine.com.br. Acesso em: 18 fev. 2012
Para termos um total de 42 pessoas ajudadas ao término da terça-feira o número X deve ser igual a
A) 2.
B) 6.
C) 7.
D) 14.
E) 21.
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Álgebra (Modelagem de Problemas, Equação do 2º Grau), Raciocínio Lógico-Quantitativo.
- Tema/Objetivo Geral: Traduzir um problema de crescimento exponencial em uma equação algébrica e resolvê-la para encontrar o valor da variável inicial.
- Nível da Questão: Médio. A questão é classificada como média porque a sua resolução exige uma interpretação cuidadosa do enunciado para modelar corretamente a situação. O erro mais comum é confundir o crescimento multiplicativo (“cada um ajuda X”) com um crescimento aditivo ou linear.
- Gabarito: B) 6. Se a corrente começa com 6 pessoas na segunda-feira, na terça cada uma delas ajuda outras 6, totalizando 6 x 6 = 36 novas pessoas. A soma dos dois dias (6 + 36) resulta exatamente nas 42 pessoas ajudadas.
Resolução Passo a Passo
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir qual deve ser o número inicial de pessoas ajudadas (X) em uma segunda-feira, para que o total acumulado de pessoas ajudadas ao final da terça-feira seja exatamente 42.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine o problema como o crescimento de uma planta mágica. Na segunda-feira, planta-se X sementes. Na terça-feira, cada uma das X sementes que brotaram gera, por sua vez, X novas sementes. O desafio é descobrir quantas sementes (X) foram plantadas no início, sabendo que o total de sementes (as originais da segunda + as novas da terça) é 42.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): O plano para solucionar este caso será:
- Modelar o Crescimento: Definir, em função de X, quantas pessoas são ajudadas na segunda-feira e quantas são ajudadas na terça-feira.
- Construir a Equação: Montar uma equação que some os totais de cada dia e iguale ao valor final de 42.
- Resolver a Equação: Encontrar o valor de X utilizando duas abordagens: um método rápido de teste de alternativas e um método algébrico formal.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, é preciso construir o raciocínio passo a passo e, em seguida, escolher a melhor ferramenta para a solução.
🧠 Fluxograma de Raciocínio (Construindo o Modelo) 🧠
- Ponto de Partida (Segunda-feira): A corrente é iniciada.
- Pessoas ajudadas na segunda = X
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- A Regra da Propagação: “…cada uma dessas X pessoas ajudasse outras X pessoas…”
- A palavra “cada” é a chave. Ela indica uma multiplicação.
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- Cálculo da Terça-feira: O número de novas pessoas ajudadas é o total da segunda (X) multiplicado pelo fator de propagação (X).
- Pessoas ajudadas na terça = X × X = X²
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- O Total Acumulado: A soma das pessoas ajudadas nos dois dias.
- Total = (Pessoas da Segunda) + (Pessoas da Terça)
- Total = X + X²
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- A Equação do Enigma: O total acumulado deve ser 42.
- X + X² = 42
Com a equação montada, existem duas rotas para a solução:
- Rota 1 (O Detetive Pragmático): Testar as hipóteses (as alternativas) na equação X + X² = 42. É um método rápido e eficiente em provas de múltipla escolha.
- Rota 2 (O Matemático Formal): Resolver a equação do 2º grau X² + X – 42 = 0 usando métodos algébricos, como a fórmula de Bhaskara ou fatoração.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Executando as duas rotas planejadas.
- Execução da Rota 1 (Teste de Hipóteses):
- Testando a alternativa (A) X = 2: Total = 2 + 2² = 2 + 4 = 6. (Muito baixo)
- Testando a alternativa (B) X = 6: Total = 6 + 6² = 6 + 36 = 42. (Bingo!)
- A resposta foi encontrada. Não seria necessário testar as outras, mas para fins didáticos:
- Testando a alternativa (C) X = 7: Total = 7 + 7² = 7 + 49 = 56. (Muito alto)
- Execução da Rota 2 (Solução Algébrica):
- Equação: X + X² = 42
- Reorganizando para a forma padrão: X² + X – 42 = 0
- Resolvendo por fatoração (procurando dois números que multiplicam para -42 e somam +1): os números são +7 e -6.
- (X + 7)(X – 6) = 0
- As possíveis soluções são X = -7 ou X = 6.
- Como X representa uma quantidade de pessoas, o valor deve ser positivo. Portanto, X = 6.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum aqui é interpretar “X pessoas ajudaram outras X pessoas” como uma soma (X + X) ou uma duplicação (2X). Isso levaria a uma equação linear errada como X + 2X = 42, que resulta em X=14 (alternativa D, um distrator perigoso). A palavra “cada” é o gatilho para a multiplicação, indicando que a ação se repete para cada um dos X indivíduos, gerando um crescimento quadrático (X²).
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O problema descreve um crescimento quadrático modelado pela equação X + X² = 42. A solução deve ser um número inteiro e positivo que satisfaça essa igualdade.
- Expectativa: A alternativa correta deve ser o número 6.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 2
- A Narrativa do Erro: O estudante testa a alternativa e encontra 2 + 4 = 6, um valor muito distante de 42.
- Diagnóstico do Erro: Incorreto.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 6
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente à “Expectativa”. O cálculo 6 + 6² = 6 + 36 resulta em 42.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 7
- A Narrativa do Erro: O estudante pode se confundir com os fatores de 42 (já que 6 x 7 = 42), e testar o 7 por associação.
- Diagnóstico do Erro: Confusão de Fatores (Usar os fatores do termo independente em vez de resolver a equação).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 14
- A Narrativa do Erro: Este é o resultado da armadilha clássica. O estudante modela o problema de forma linear (X + 2X = 42), chega a 3X = 42 e encontra X = 14.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Modelagem (Confundir crescimento quadrático com linear).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 21
- A Narrativa do Erro: Semelhante à alternativa C, o aluno pode se guiar por fatores de 42 (42 / 2 = 21).
- Diagnóstico do Erro: Confusão de Fatores.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
- Frase de Fechamento: Confirma-se que a resposta correta é a (B), pois o número 6 é a única solução positiva para a equação de crescimento quadrático X + X² = 42 que modela o problema.
- Resumo-flash (A Imagem Mental): Na corrente do bem, a ajuda não soma, ela se multiplica: X na segunda, X ao quadrado na terça.
- 🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O princípio do crescimento multiplicativo (“cada um afeta outros X”) é a base matemática para entender a viralização de conteúdo na internet. Um meme ou vídeo não se espalha de forma linear (uma pessoa mostra para outra, que mostra para outra). Ele se espalha de forma exponencial: uma pessoa compartilha com 10 amigos (X=10), e cada um desses 10, idealmente, compartilha com outros 10 (gerando 10² = 100 novos compartilhamentos), e assim por diante. A questão que foi resolvida é um modelo simplificado de dois dias do que os analistas de redes sociais calculam para prever o alcance potencial de uma campanha de marketing.
