Uma escola tem um terreno vazio no formato retangular cujo perímetro é 40 m, onde se pretende realizar uma única construção que aproveite o máximo de área possível.
Após a análise realizada por um engenheiro, este concluiu que para atingir o máximo de área do terreno com uma única construção, a obra ideal seria
A) um banheiro com 8 m² .
B) uma sala de aula com 16 m² .
C) um auditório com 36 m² .
D) um pátio com 100 m² .
E) uma quadra com 160 m² .
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Perímetro e Área de Retângulos
- Otimização Geométrica (Máximos e Mínimos)
- Função Quadrática (para uma abordagem algébrica)
Tema/Objetivo Geral: Maximização da área de uma figura geométrica com um perímetro fixo.
Nível da Questão
Médio – Embora o cálculo final seja simples, a questão exige um raciocínio de otimização que não é trivial. O aluno precisa saber a relação fundamental entre perímetro e área: para um perímetro retangular fixo, a área máxima é alcançada quando a figura é um quadrado. Não se trata apenas de aplicar uma fórmula, mas de entender um conceito de maximização, o que a eleva do nível fácil.
Gabarito
D) um pátio com 100 m² . – A alternativa está correta porque, para um perímetro retangular de 40 m, a maior área possível é obtida quando o retângulo é um quadrado. Nesse caso, os lados seriam de 10 m cada, resultando em uma área de 10 m x 10 m = 100 m².
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“…uma única construção que aproveite o máximo de área possível.”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos pede para encontrar qual é a maior área que pode ser construída em um terreno retangular que possui um contorno (perímetro) total de 40 metros.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é determinar a área máxima, em m², que um retângulo com 40 m de perímetro pode ter e, em seguida, escolher a alternativa que corresponde a esse valor.
1.4 Pergunta de Atenção
Você já parou para pensar se um retângulo bem “esticadão” (ex: 1 m por 19 m) e um mais “quadradão” (ex: 10 m por 10 m) com o mesmo perímetro têm a mesma área? A resposta para isso é a chave de todo o problema!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver esta questão, precisamos dominar alguns conceitos:
- Perímetro de um Retângulo: É a soma de todos os seus lados. É como se fosse o comprimento total de um muro ao redor do terreno. Se os lados são Comprimento (C) e Largura (L), a fórmula é:
- P = C + L + C + L = 2 * (C + L)
- Área de um Retângulo: É o espaço dentro do perímetro. É a medida da superfície do terreno. A fórmula é:
- A = C * L
- Conceito de Otimização (Área Máxima): Esta é a grande sacada da questão. Para um perímetro retangular fixo, existe uma regra de ouro:
- O retângulo que terá a maior área possível é sempre um QUADRADO.
- Exemplo prático: Imagine que você tem 20 metros de cerca (perímetro). Você poderia fazer um terreno de:
- 1m x 9m (Perímetro = 2*(1+9) = 20m) -> Área = 9 m²
- 2m x 8m (Perímetro = 2*(2+8) = 20m) -> Área = 16 m²
- 5m x 5m (um quadrado!) (Perímetro = 2*(5+5) = 20m) -> Área = 25 m²
- Perceba que, à medida que os lados se tornam mais parecidos (mais “quadradão”), a área aumenta, atingindo o máximo quando são iguais.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos “mastigar” o problema: a escola tem 40 metros de “muro” para construir um espaço retangular. Eles querem que esse espaço seja o maior possível por dentro. Qual é o truque para conseguir a maior área? E qual será o valor dessa área? A gente sabe, pelo conceito que vimos, que o truque é fazer um quadrado.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Usar a informação do perímetro (40 m) para descobrir qual seria o tamanho dos lados se o terreno fosse um quadrado (a forma ideal).
- Calcular a área desse quadrado.
- Esse valor será a área máxima possível, e então vamos procurar a alternativa que bate com ele.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
1. Usando a fórmula do perímetro:
Sabemos que o perímetro é 40 m.
P = 2 * (Comprimento + Largura)
40 = 2 * (C + L)
Dividindo os dois lados por 2, temos:
20 = C + L
Isso nos diz que a soma de dois lados diferentes do retângulo deve ser sempre 20 m.
2. Aplicando o princípio da área máxima:
Para que a área A = C * L seja a maior possível, os valores de C e L precisam ser os mais próximos possíveis um do outro. A situação ideal é quando eles são iguais: C = L.
3. Encontrando o lado do quadrado ideal:
Se C = L e C + L = 20, podemos substituir:
C + C = 20
2 * C = 20
C = 10 metros
Portanto, a Largura (L) também será de 10 metros. O terreno ideal é um quadrado de 10m x 10m.
4. Calculando a área máxima:
Agora, calculamos a área desse quadrado:
Área Máxima = Comprimento * Largura
Área Máxima = 10 m * 10 m
Área Máxima = 100 m²
4.2 Verificação Intermediária
Vamos testar um retângulo não-quadrado para confirmar. Se C=15 e L=5, a soma é 20 (Perímetro = 40). A área seria 15 * 5 = 75 m², que é menor que 100 m². Se C=18 e L=2, a soma é 20 (Perímetro = 40). A área seria 18 * 2 = 36 m², ainda menor. Nossa lógica está correta.
4.3 Possível armadilha
A armadilha seria pensar que qualquer retângulo com 40 m de perímetro teria a mesma área e ficar tentando adivinhar as dimensões. Sem o conhecimento do princípio da otimização (quadrado maximiza a área), a questão se torna muito mais difícil e baseada em tentativa e erro.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso raciocínio e cálculo nos levaram a uma área máxima de 100 m². Agora, vamos procurar a alternativa que apresenta exatamente este valor.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) um banheiro com 8 m² .
B) uma sala de aula com 16 m² .
C) um auditório com 36 m² .
D) um pátio com 100 m² .
E) uma quadra com 160 m² .
5.2 Justificativa Individual
- A) 8 m² (🔴) Incorreta. É uma área possível (ex: um retângulo de 1m x 8m, que teria perímetro de 18m), mas está muito longe da área máxima para um perímetro de 40m.
- B) 16 m² (🔴) Incorreta. Também é uma área possível, mas muito pequena.
- C) 36 m² (🔴) Incorreta. Essa área é possível (um retângulo de 2m x 18m tem perímetro de 40m e área de 36m²), mas não é a máxima.
- D) 100 m² (🟢) Correta. Corresponde exatamente à área máxima que calculamos para um terreno com 40 m de perímetro, que ocorre quando ele é um quadrado de 10m x 10m.
- E) 160 m² (🔴) Incorreta. Esta área é impossível de ser obtida com apenas 40 m de perímetro. A área máxima possível é 100 m².
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Utilizamos a informação do perímetro de 40 m para entender que a soma de dois lados adjacentes do retângulo seria 20 m. Aplicando o princípio fundamental de que a área é maximizada quando o retângulo é um quadrado, determinamos que os lados ideais seriam de 10 m cada, resultando em uma área máxima de 100 m².
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D) um pátio com 100 m² .
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da regra de ouro da otimização retangular: para um perímetro fixo, a área máxima é sempre a de um quadrado!
