Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os volumes dos reservatórios são dados pelas funções V1(t) = 250t³ – 100t + 3000 e V2(t) = 150t³ + 69t + 3000.
Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e, também, no tempo t igual a
A) 1,3 h.
B) 1,69 h.
C) 10,0 h.
D) 13,0 h.
E) 16,9 h.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática (Álgebra – Equações Polinomiais)
Tema/Objetivo Geral:
Resolução de uma equação polinomial para encontrar o ponto de igualdade entre duas funções.
Nível da Questão:
Médio. A questão é de nível médio porque envolve manipulação algébrica para resolver uma equação cúbica. Embora a equação seja incompleta e sua resolução seja simplificada pela fatoração, ela exige um conhecimento de álgebra que vai além de operações básicas, como o método de fator comum e a resolução de equações de 2º grau.
Gabarito:
A alternativa correta é a A. A resposta está correta porque ao igualar as duas funções de volume e resolver a equação resultante para um tempo t maior que zero, encontramos o valor de t = 1,3 h.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“…o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e, também, no tempo t igual a”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para encontrar o instante de tempo t (diferente de zero) em que os volumes dos dois reservatórios, V1 e V2, se tornam iguais novamente.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é montar uma equação igualando as duas expressões de volume, V1(t) = V2(t), e resolver essa equação para encontrar o valor positivo de t.
1.4 Pergunta de Atenção
Quando um problema de matemática diz que duas coisas são “iguais”, qual é a primeira ferramenta matemática que vem à sua mente para representar essa situação?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos entender os seguintes conceitos algébricos:
- Função: É uma regra matemática que relaciona um valor de entrada (no nosso caso, o tempo t) a um valor de saída (o volume V). As expressões V1(t) e V2(t) são as regras para cada reservatório.
- Equação Polinomial: É uma equação formada por polinômios, que são expressões com variáveis elevadas a potências inteiras não negativas (como t³, t², t).
- Resolver uma Equação: Significa encontrar o(s) valor(es) da variável (a incógnita, t) que tornam a igualdade verdadeira.
- Fatoração (Fator Comum em Evidência): É uma técnica para simplificar equações. Se um mesmo termo aparece em várias partes da expressão, podemos “colocá-lo para fora” de um parêntese.
- Exemplo: Na expressão 100t³ – 169t, o termo t é comum a ambas as partes. Podemos reescrevê-la como t * (100t² – 169).
- Propriedade do Produto Nulo: Esta é uma regra muito útil! Ela diz que se a multiplicação de dois ou mais fatores é igual a zero (A * B = 0), então pelo menos um desses fatores deve ser zero (ou A=0, ou B=0). Usamos isso logo após a fatoração.
- Equação do 2º Grau Incompleta: É uma equação do tipo ax² – c = 0. Para resolvê-la, basta isolar o x² e depois tirar a raiz quadrada.
- ax² = c –> x² = c/a –> x = √(c/a)
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Pense em dois grandes tanques de leite. No momento em que começamos a medir (tempo zero), eles têm exatamente a mesma quantidade de leite (3000 litros). Abrimos duas torneiras, e cada tanque começa a encher (ou esvaziar) de um jeito diferente, seguindo as fórmulas V1 e V2. A pergunta é simples: depois de quanto tempo eles terão, de novo, a mesmíssima quantidade de leite um dentro do outro?
3.2 Estratégia Geral
O plano é traduzir a pergunta para a linguagem da matemática:
- Escrever a frase “o volume de um reservatório é igual ao do outro” como uma equação: V1(t) = V2(t).
- Resolver essa equação algebricamente para encontrar os possíveis valores de t.
- Escolher a resposta que corresponde ao tempo positivo que a questão pede.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar o nosso plano.
- 1. Igualando as funções de volume:
V1(t) = V2(t)
250t³ – 100t + 3000 = 150t³ + 69t + 3000
- 2. Reorganizando a equação (passando todos os termos para um lado):
- Vamos passar tudo que está à direita para a esquerda, trocando os sinais.
(250t³ – 150t³) + (–100t – 69t) + (3000 – 3000) = 0 - Simplificando os termos semelhantes:
100t³ – 169t = 0
- Vamos passar tudo que está à direita para a esquerda, trocando os sinais.
- 3. Fatorando a equação:
- Percebemos que t é um fator comum nos dois termos. Vamos colocá-lo em evidência.
t * (100t² – 169) = 0
- Percebemos que t é um fator comum nos dois termos. Vamos colocá-lo em evidência.
- 4. Aplicando a Propriedade do Produto Nulo:
- Para que essa multiplicação resulte em zero, uma das duas partes tem que ser zero:
- Ou t = 0
- Ou 100t² – 169 = 0
- Para que essa multiplicação resulte em zero, uma das duas partes tem que ser zero:
- 5. Resolvendo para encontrar o tempo t positivo:
- A primeira solução, t = 0, é o instante inicial, que o problema já mencionou. Queremos o outro instante.
- Vamos resolver a segunda equação:
100t² – 169 = 0
100t² = 169
t² = 169 / 100 - Agora, tiramos a raiz quadrada dos dois lados (considerando apenas o valor positivo, pois o tempo não pode ser negativo aqui):
t = √(169 / 100)
t = (√169) / (√100)
t = 13 / 10
t = 1,3 h
4.2 Verificação Intermediária
Encontramos um valor de t = 1,3 horas. Este é um tempo positivo e plausível. A álgebra foi seguida passo a passo, e a fatoração foi a chave para resolver uma equação que parecia complicada.
4.3 Possível armadilha
Uma armadilha comum seria, ao chegar em 100t³ – 169t = 0, dividir tudo por t sem pensar. Isso te daria 100t² – 169 = 0 e levaria à resposta correta, mas você perderia a solução t=0 no processo, o que é um erro conceitual. A forma correta é sempre fatorar. Outro erro seria calcular t² = 1,69 e esquecer de tirar a raiz quadrada, marcando a alternativa B.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo mostra que, além do momento inicial, os volumes se igualam novamente após 1,3 horas. Esperamos encontrar este valor nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 1,3 h.
B) 1,69 h.
C) 10,0 h.
D) 13,0 h.
E) 16,9 h.
5.2 Justificativa Individual
- (🟢) A) 1,3 h: Correta. Este valor corresponde exatamente ao nosso cálculo de t = 13/10.
- (🔴) B) 1,69 h: Incorreta. Este é o valor de t² (169/100 = 1,69). Quem marca esta alternativa esqueceu de aplicar a raiz quadrada no final.
- (🔴) C) 10,0 h: Incorreta. Este valor (√100) considera apenas uma parte da equação.
- (🔴) D) 13,0 h: Incorreta. Este valor (√169) seria o resultado se a equação fosse t² = 169, ignorando o fator 100.
- (🔴) E) 16,9 h: Incorreta. Não corresponde a um passo lógico do cálculo.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para encontrar o tempo em que os volumes eram iguais, igualamos as duas funções (V1=V2). Isso resultou em uma equação cúbica incompleta, que foi resolvida por meio da fatoração por fator comum, levando a duas soluções para o tempo (t=0 e t=1,3). Como a questão pedia o tempo posterior ao inicial, a resposta é 1,3 h.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A) 1,3 h.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre que um problema pedir para encontrar quando duas funções são iguais, o primeiro passo é montar uma equação: Função 1 = Função 2. Depois, use suas ferramentas de álgebra para resolver
