Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00.
Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria
A) manter sua proposta.
B) oferecer 4 máquinas a mais.
C) oferecer 6 trabalhadores a mais.
D) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.
E) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática aplicada — razão e proporção; aritmética de custos.
Tema/Objetivo Geral:
Análise de condições simultâneas: alcançar uma meta de produção (hectares) e respeitar um teto de custo; interpretar variações proporcionais com base em tempo e equipamentos.
Nível da Questão:
Médio. Exige compreender quais variáveis afetam produção (horas, máquinas, trabalhadores), aplicar regra de três para produção em função do tempo, e calcular custo total para comparar com um limite. Requer atenção à dependência entre produção e custos.
Gabarito:
Alternativa D) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.
Resumo: aumentar as horas diárias de 6 para 9 eleva a produção diária de 20 para 30 hectares (proporcional às horas), permitindo colher 180 hectares em 6 dias; os custos permanecem por dia e continuam abaixo de R$ 25.000,00.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria ______?”
1.2 O que está sendo pedido?
Escolher qual modificação proposta (entre A–E) permite colher 180 hectares em 6 dias com gasto inferior a R$ 25.000,00.
1.3 Objetivo Cristalino
Determinar a ação que simultaneamente garante produção de 180 ha em 6 dias e mantém o custo total abaixo de R$ 25.000,00.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembra que aumento do tempo de trabalho, mantido o ritmo, aumenta a produção proporcionalmente, enquanto custos que são por dia não mudam se mudarmos horas (exceto se pagamento fosse por hora)?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Ritmo constante → produção proporcional ao tempo:
Se em H horas produzem P hectares por dia, então em h horas produzem p hectares por dia com p = P * (h / H).
- Produção total em D dias:
Produção_total = produção_por_dia * D.
- Custo total em D dias:
Custo_total = (n_trabalhadores * custo_trabalhador_por_dia + n_máquinas * aluguel_por_máquina_por_dia) * D.
- Dados do enunciado:
- trabalhadores = 12
- máquinas = 4
- jornada = 6 horas/dia
- produção = 20 hectares/dia
- custo trabalhador = R$ 10,00 por trabalhador por dia
- aluguel máquina = R$ 1.000,00 por máquina por dia
- dias desejados D = 6
- meta total = 180 hectares
- teto de gasto = R$ 25.000,00
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Atualmente, com 12 trabalhadores e 4 máquinas trabalhando 6 horas, a cooperativa colhe 20 ha por dia. O fazendeiro quer 180 ha em 6 dias (30 ha/dia) e gasto < R$ 25.000,00. Precisamos avaliar qual alternativa faz isso acontecer.
3.2 Estratégia Geral
Para cada alternativa: (1) determinar a produção por dia resultante; (2) checar se em 6 dias chega a 180 ha; (3) calcular custo total em 6 dias e verificar se é < R$ 25.000,00. A alternativa válida deve satisfazer as duas condições.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Caso base (sem mudança):
Produção por dia = 20 hectares.
Produção em 6 dias = 20 * 6 = 120 hectares.
Custo por dia = 12 * 10 + 4 * 1000 = 120 + 4000 = 4.120 reais por dia.
Custo em 6 dias = 4.120 * 6 = 24.720 reais.
Observação: o custo em 6 dias no caso base é 24.720 < 25.000, ou seja, o custo atende o teto, mas a produção não (somente 120 ha).
Agora avaliar alternativas:
Alternativa A — manter sua proposta.
Produção em 6 dias = 20 * 6 = 120 hectares.
120 < 180 → falha na produção.
Mesmo que o custo em 6 dias seja 24.720 (<25.000), a alternativa não cumpre a meta de produção.
Conclusão: eliminada.
Alternativa B — oferecer 4 máquinas a mais (total 8 máquinas).
Custo por dia = 12 * 10 + 8 * 1000 = 120 + 8000 = 8.120 reais por dia.
Custo em 6 dias = 8.120 * 6 = 48.720 reais.
48.720 > 25.000 → ultrapassa o limite de custo, independentemente de produção.
Conclusão: eliminada.
(Nota: mesmo sem calcular a nova produção, o custo já desqualifica.)
Alternativa C — oferecer 6 trabalhadores a mais (total 18 trabalhadores).
Custo por dia = 18 * 10 + 4 * 1000 = 180 + 4000 = 4.180 reais por dia.
Custo em 6 dias = 4.180 * 6 = 25.080 reais.
25.080 > 25.000 → ultrapassa o teto de custo (mesmo antes de garantir produção).
Conclusão: eliminada.
(Observação: mesmo se a produção aumentasse proporcionalmente, o custo já excede o limite.)
Alternativa D — aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias (mantendo 12 trabalhadores e 4 máquinas).
Produção por dia escala com horas (ritmo constante). Usamos regra de três:
6 horas → 20 hectares
9 horas → x hectares
x = 9 * (20 / 6)
x = 9 * (10 / 3) (porque 20/6 = 10/3)
x = 90 / 3
x = 30 hectares por dia
Produção em 6 dias = 30 * 6 = 180 hectares → meta atingida.
Custo por dia: permanece o mesmo (pagamento é por dia, não por hora):
Custo por dia = 12 * 10 + 4 * 1000 = 120 + 4000 = 4.120 reais por dia.
Custo em 6 dias = 4.120 * 6 = 24.720 reais.
24.720 < 25.000 → teto de custo respeitado.
Conclusão: atende os dois requisitos. Alternativa válida.
Alternativa E — reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina (cada máquina passa a custar 600 por dia).
Novo aluguel por máquina = 1.000 – 400 = 600 reais/dia.
Custo por dia = 12 * 10 + 4 * 600 = 120 + 2.400 = 2.520 reais/dia.
Custo em 6 dias = 2.520 * 6 = 15.120 reais (< 25.000) → custo ok.
Porém a produção não muda (a quantidade de horas, máquinas e trabalhadores é a mesma), então:
Produção em 6 dias = 20 * 6 = 120 hectares < 180 → não atende a produção.
Conclusão: eliminada.
4.2 Verificação Intermediária
Somente a alternativa D permite alcançar 180 hectares em 6 dias e manter o custo total abaixo de R$ 25.000,00 (24.720 reais). Verificações numéricas confirmam: produção diária = 30 ha; custo total = 24.720.
4.3 Possível armadilha
Pensar que aumentar só trabalhadores (C) ou só máquinas (B) resolve sem checar custos. Ou pensar que reduzir aluguel (E) é suficiente — ela reduz custo, mas não aumenta produção. A alternativa correta aumenta a variável que afeta produção diretamente (horas) sem alterar o custo por dia.
4.4 Fechamento e expectativa
Aumentar a jornada para 9 horas/dia é a solução que atende simultaneamente produção e custo. Esperamos encontrar essa opção entre as alternativas — é a D.
🏆 Passo 5: Conclusão e Justificativa Final
5.1 Resumo do Raciocínio
Aumentar as horas de trabalho de 6 para 9, mantendo ritmo constante, eleva a produção diária de 20 para 30 hectares (proporcional às horas). Em 6 dias isso soma 180 hectares. Como os pagamentos são por dia, o custo total em 6 dias permanece 24.720 reais, portanto dentro do limite.
5.2 Gabarito Reafirmado
Alternativa D) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.
5.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Regra prática: quando ritmo é constante, produção ∝ horas trabalhadas. Ao ajustar o tempo (e manter custo diário), podemos aumentar produção sem necessariamente aumentar custo total — atenção sempre ao tipo de remuneração (por dia vs por hora).
