Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?
A) y = 30x.
B) y = 25x + 20,2.
C) y = 1,27x.
D) y = 0,7x.
E) y = 0,07x + 6.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função de 1º Grau (Função Afim)
- Sistemas de Equações Lineares
- Interpretação de Tabelas
Tema/Objetivo Geral:
- Determinar a lei de formação (expressão algébrica) de uma função de 1º grau a partir de dados experimentais apresentados em uma tabela.
Nível da Questão
- Médio – A questão é considerada de nível médio porque não se resolve com uma única operação. Exige que o aluno identifique o modelo matemático (uma função de 1º grau), calcule os coeficientes ‘a’ e ‘b’ a partir dos dados, o que geralmente envolve a resolução de um sistema de equações, e compreenda o significado físico de cada coeficiente no contexto do problema.
Gabarito
- E) y = 0,07x + 6. – Esta é a expressão correta, pois o coeficiente 0,07 representa o aumento exato no nível da água para cada bola adicionada, e o 6 representa o nível inicial da água no copo antes de qualquer bola ser colocada.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A pergunta central do problema é: “Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão nos pede para encontrar a fórmula matemática que relaciona a quantidade de bolas de vidro (x) com a altura da água (y).
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é descobrir a lei de formação da função, que, por se tratar de um aumento constante, terá a forma de uma função de 1º grau: y = ax + b. Precisamos encontrar os valores numéricos de ‘a’ e ‘b’.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que o nível da água não começa em zero? A tabela mostra que com 5 bolas o nível já está em 6,35 cm. Isso é uma pista fundamental de que a nossa função terá um valor inicial (o coeficiente ‘b’) diferente de zero.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Função de 1º Grau (ou Função Afim): É toda função que pode ser escrita na forma y = ax + b. Ela descreve fenômenos que têm uma variação constante.
- Coeficiente Angular (a): Representa a taxa de variação da função. No nosso problema, ‘a’ significa “quantos centímetros o nível da água sobe para CADA bola adicionada”. É a inclinação da reta no gráfico.
- Coeficiente Linear (b): Representa o valor inicial, ou seja, o valor de ‘y’ quando ‘x’ é zero. No nosso contexto, ‘b’ é o nível da água no copo ANTES de qualquer bola ser colocada (x=0). É o ponto onde a reta corta o eixo y.
- Sistema de Equações: É um conjunto de duas ou mais equações que nos permite encontrar o valor de duas ou mais incógnitas. Usaremos os dados da tabela para montar um sistema e descobrir ‘a’ e ‘b’.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos pensar neste problema como uma investigação. Temos algumas pistas (os dados da tabela) e queremos descobrir a “regra do crime”. A regra aqui é a fórmula da função. Precisamos responder a duas perguntas:
- Quanto o nível da água sobe toda vez que colocamos UMA bolinha de vidro? (Este será o nosso ‘a’).
- Qual era o nível da água no copo antes de começarmos o experimento, ou seja, com zero bolinhas? (Este será o nosso ‘b’).
3.2 Estratégia Geral
A estratégia mais direta é usar dois pontos da tabela para montar um sistema de duas equações com duas incógnitas (‘a’ e ‘b’).
- Pegar o primeiro par (x=5, y=6,35) e substituir em y = ax + b.
- Pegar o segundo par (x=10, y=6,70) e substituir em y = ax + b.
- Resolver o sistema para encontrar os valores de ‘a’ e ‘b’ e, assim, montar a expressão final.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar a estratégia.
1. Montando o Sistema de Equações:
Usando a fórmula geral y = ax + b:
- Para o ponto (x=5, y=6,35), temos a Equação 1:
6,35 = a * 5 + b ou 5a + b = 6,35 - Para o ponto (x=10, y=6,70), temos a Equação 2:
6,70 = a * 10 + b ou 10a + b = 6,70
Nosso sistema é:
{ 5a + b = 6,35
{ 10a + b = 6,70
2. Resolvendo o Sistema:
O método mais fácil aqui é o da subtração. Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2:
(10a + b) – (5a + b) = 6,70 – 6,35
10a – 5a + b – b = 0,35
5a = 0,35
a = 0,35 / 5
a = 0,07
3. Encontrando o valor de ‘b’:
Agora que sabemos que a = 0,07, podemos substituir esse valor em qualquer uma das equações originais. Vamos usar a Equação 1:
5a + b = 6,35
5 * (0,07) + b = 6,35
0,35 + b = 6,35
b = 6,35 – 0,35
b = 6
4. Montando a Expressão Final:
Com a = 0,07 e b = 6, a nossa expressão é:
y = 0,07x + 6
4.2 Verificação Intermediária
Vamos testar nossa fórmula com o terceiro ponto da tabela (x=15, y=7,05) para ver se funciona.
y = 0,07 * (15) + 6
y = 1,05 + 6
y = 7,05
O valor bateu perfeitamente! Nossa equação está correta.
4.3 Possível armadilha
Uma armadilha comum seria tentar adivinhar a relação sem montar o sistema. Por exemplo, dividir 6,35 por 5 (daria 1,27), o que levaria à alternativa C. Isso estaria errado, pois ignora o fato de que a água já tinha um nível inicial (‘b’) antes das bolas serem adicionadas.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou à expressão y = 0,07x + 6. Esperamos encontrar esta exata correspondência em uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) y = 30x
- B) y = 25x + 20,2
- C) y = 1,27x
- D) y = 0,7x
- E) y = 0,07x + 6
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 (A) y = 30x: Incorreto. Os coeficientes não têm relação com os dados.
- 🔴 (B) y = 25x + 20,2: Incorreto.
- 🔴 (C) y = 1,27x: Incorreto. Este resultado viria do erro de dividir 6,35 por 5, assumindo que a reta passa pela origem (b=0), o que não é verdade.
- 🔴 (D) y = 0,7x: Incorreto. O coeficiente ‘a’ está errado por um fator de 10 e assume b=0.
- 🟢 (E) y = 0,07x + 6: Correto. Esta é a expressão exata que encontramos em nosso passo a passo, representando um nível inicial de 6 cm e um aumento de 0,07 cm por bola.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se reconhecer que a relação entre o número de bolas e o nível da água é uma função de 1º grau. Utilizando dois pares de dados da tabela, montamos e resolvemos um sistema de equações para determinar os coeficientes angular (a) e linear (b) da função.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a E, que apresenta a expressão y = 0,07x + 6.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para encontrar a equação de uma reta (y = ax + b) a partir de uma tabela, um método seguro é sempre pegar dois pontos, montar um sistema de duas equações e resolvê-lo para encontrar ‘a’ e ‘b’.
