Uma piscina tem capacidade de 2 500 000 litros. Seu sistema de abastecimento foi regulado para ter uma vazão constante de 6 000 litros de água por minuto.
O mesmo sistema foi instalado em uma segunda piscina, com capacidade de 2750000 litros, e regulado para ter uma vazão, também constante, capaz de enchê-la em um tempo 20% maior que o gasto para encher a primeira piscina.
A vazão do sistema de abastecimento da segunda piscina, em litro por minuto, é
A) 8 250.
B) 7 920.
C) 6 545.
D) 5 500.
E) 5 280.
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática Básica (Aritmética e Frações)
- Matemática (Razão e Proporção / Regra de Três Composta)
- Matemática (Porcentagem)
- Tema/Objetivo Geral: Calcular a vazão (velocidade de enchimento) de um segundo sistema baseando-se nos dados de um primeiro sistema e em fatores de aumento de volume e tempo.
- Nível da Questão: Médio.
- Embora a lógica seja linear, a questão envolve números grandes e porcentagem aplicada ao tempo. O aluno pode se perder nas contas se tentar dividir tudo logo de cara (gerando dízimas) em vez de simplificar frações.
- Gabarito: D
- A alternativa está correta. Calculando o tempo da primeira piscina e aumentando-o em 20%, chegamos a 500 minutos. Dividindo o volume da segunda piscina (2.750.000 L) por esse tempo, obtemos a vazão de 5.500 L/min.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Em bom português, a missão é: “Temos uma torneira enchendo uma piscina. Vamos mudar para uma piscina maior e demorar um pouco mais para encher (20% a mais de tempo). Qual deve ser a velocidade dessa nova torneira (vazão) para que isso aconteça?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine uma viagem de carro.
- Cenário 1: Você viaja 250 km a 60 km/h. Isso leva um certo tempo.
- Cenário 2: Você vai viajar um pouco mais longe (275 km) e quer demorar 20% a mais na estrada. Qual deve ser a velocidade do ponteiro do carro?
Vazão é apenas a “velocidade” da água.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Descobrir o Tempo Original (T1): Calcular quanto tempo a primeira piscina leva para encher.
- Calcular o Novo Tempo (T2): Aumentar esse tempo original em 20%.
- Calcular a Nova Vazão (Z2): Dividir o volume da segunda piscina pelo novo tempo encontrado.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este caso, precisamos da Fórmula Fundamental da Vazão e de um truque de porcentagem para evitar contas feias.
DOSSIÊ: A FÍSICA DA TORNEIRA
A Fórmula:
Vazão (Z) = Volume (V) / Tempo (t)
Dessa fórmula, podemos derivar que: Tempo (t) = Volume (V) / Vazão (Z)
O Truque do 20%:
Aumentar um valor em 20% é o mesmo que multiplicar por 1,2.
Mas, para facilitar cortes matemáticos, lembre-se que 1,2 é a mesma coisa que a fração 6/5.
- Por que isso ajuda? Porque na piscina 1 temos uma vazão de “6” mil. Ver o número 6 na fração vai nos permitir cortar e simplificar sem dor de cabeça.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos seguir o roteiro sem medo dos zeros.
- Calculando o Tempo da Primeira Piscina (T1):
- Volume 1 = 2.500.000 litros.
- Vazão 1 = 6.000 litros/min.
- T1 = 2.500.000 / 6.000
- Cortando 3 zeros de cima e de baixo:
- T1 = 2.500 / 6 minutos.
- Dica de Mestre: NÃO DIVIDA AINDA! Vai dar uma dízima periódica (416,66…). Deixe em forma de fração. O problema vai se resolver sozinho no próximo passo.
- Calculando o Tempo da Segunda Piscina (T2):
- O enunciado diz que o tempo é 20% maior. Ou seja, multiplicamos T1 por 1,2 (ou 6/5).
- T2 = (2.500 / 6) . (6 / 5)
- Olha a mágica acontecendo: O “6” de baixo corta com o “6” de cima da fração 6/5.
- Sobrou: T2 = 2.500 / 5
- T2 = 500 minutos.
- (Viu? Sem calculadora e sem dízimas!)
- Calculando a Vazão da Segunda Piscina (Z2):
- Agora temos o Volume 2 (2.750.000) e o Tempo 2 (500 min).
- Z2 = Volume 2 / T2
- Z2 = 2.750.000 / 500
- Cortamos dois zeros de cada lado:
- Z2 = 27.500 / 5
- Vamos dividir: 275 dividido por 5 dá 55. Adicionamos os dois zeros restantes.
- Z2 = 5.500 litros/minuto.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é ignorar o novo volume. O aluno pensa: “Ah, se o tempo aumentou 20%, a vazão diminui 20%”. E calcula 6000 – 20% = 4800. Isso estaria certo SE o volume fosse o mesmo. Mas a piscina mudou! Você tem que considerar as duas mudanças: o tanque ficou maior E o tempo ficou maior.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Achamos o tempo da primeira piscina (deixando em fração), aplicamos o aumento de 20% (achando 500 min redondos) e dividimos o novo volume por esse tempo.
- Expectativa: Um valor um pouco menor que 6.000, pois embora o tanque tenha crescido (o que exigiria mais vazão para manter o tempo), o tempo permitido cresceu proporcionalmente mais. Esperamos o número 5.500.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 8 250.
- O “Diagnóstico do Erro”: Inversão de lógica ou erro de multiplicação. O aluno pode ter multiplicado a vazão original pelo aumento de volume sem considerar o aumento de tempo, ou tentado uma regra de três direta incorreta.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) 7 920.
- O “Diagnóstico do Erro”: Aplicação de porcentagem cumulativa errada. Esse número surge se o aluno aumentar tanto o volume (10%) quanto a vazão em proporções equivocadas, talvez somando percentuais (32% de 6000 dá 1920 + 6000 = 7920).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
C) 6 545.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de cálculo aritmético na divisão final ou na aplicação dos 20%. Não corresponde a uma lógica física clara, sugerindo tropeço na matemática básica.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) 5 500.
- Análise de Correspondência: Perfeita. O valor resulta da divisão exata do novo volume (2.750.000) pelo novo tempo calculado (500 minutos). Todos os passos lógicos se confirmam aqui.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
E) 5 280.
- O “Diagnóstico do Erro”: Tentativa de reduzir a vazão em uma proporção incorreta. 5280 é 88% de 6000. O aluno pode ter tentado fazer “12% a menos” vindo de alguma confusão com a diferença entre volume e tempo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa D é a correta. Este problema nos ensina que, em questões de vazão e proporção composta, a paciência estratégica (não dividir frações imediatamente) é a maior virtude matemática, transformando contas complexas em números inteiros simples.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Não lute com os números quebrados; deixe-os em forma de fração até que eles se cortem sozinhos.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O conceito de Vazão (Volume/Tempo) é a pedra fundamental da Hidrodinâmica e da Engenharia Civil, mas também da Medicina. No corpo humano, o “Débito Cardíaco” é a vazão de sangue que o coração bombeia por minuto (cerca de 5 litros/min em repouso). Médicos usam exatamente a mesma lógica desta questão para calcular se o coração está bombeando sangue suficiente (Vazão) para suprir a demanda do corpo (Volume necessário) dentro do ciclo cardíaco (Tempo). Se a vazão cai (insuficiência cardíaca), o corpo sofre, assim como a piscina demoraria uma eternidade para encher.
