Questão 159 caderno cinza ENEM 2011 PPL

José e Antônio discutiam qual dos dois teria mais chances de acertar na loteria. José tinha gasto R$ 14,00 numa aposta de 7 números na Mega-Sena, enquanto Antônio gastou R$ 15,00 em três apostas da quina, não repetindo números em suas apostas. Na discussão, eles consideravam a chance de José acertar a quadra da Mega-Sena e de Antônio acertar o terno da Quina.

Nessas condições, a razão entre as probabilidades de acerto de José e de Antônio nos menores prêmios de cada loteria é

A) 261/3114 , o que mostra que Antônio tem mais chances de acertar.

B) 783/1038 , o que mostra que Antônio tem mais chances de acertar.

C) 1038/261 , o que mostra que José tem mais chances de acertar.

D) 3114/261, o que mostra que Antônio tem mais chances de acertar.

E) 3114/261 , o que mostra que José tem mais chances de acertar.

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Interpretação de Tabelas
Probabilidade
Operações com Frações (Divisão)

Tema/Objetivo Geral: Cálculo e comparação de probabilidades a partir de dados tabelados.

Nível da Questão
Médio – A questão não exige cálculos de probabilidade complexos (como análise combinatória), pois os valores são fornecidos nas tabelas. No entanto, a dificuldade está na interpretação cuidadosa do enunciado para extrair os dados corretos para cada pessoa, principalmente no caso de Antônio, que faz múltiplas apostas. A etapa final de calcular a razão entre frações também adiciona uma camada de complexidade que a eleva do nível fácil.

Gabarito
A) 261/3114, o que mostra que Antônio tem mais chances de acertar. – A alternativa está correta pois, ao calcular a razão entre a probabilidade de José (1/1038) e a probabilidade de Antônio (3/261), o resultado é 261/3114. Como este valor é menor que 1, significa que a probabilidade de Antônio (denominador) é maior.

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial
“Nessas condições, a razão entre as probabilidades de acerto de José e de Antônio nos menores prêmios de cada loteria é…”

1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para calcularmos a divisão entre a probabilidade de José ganhar e a probabilidade de Antônio ganhar, e com base no resultado, determinar qual dos dois tem a maior chance de acerto.

1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar as probabilidades individuais de José e Antônio usando as tabelas, calcular a razão P(José) / P(Antônio), e interpretar o valor final para comparar suas chances.

1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que Antônio fez três apostas diferentes? A probabilidade total dele não é apenas o valor de uma única aposta na tabela, mas sim a soma das chances de cada uma!

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos

Para resolver esta questão, precisamos entender alguns conceitos:

Probabilidade: É a medida da chance de um evento ocorrer. Nas tabelas, a probabilidade é dada no formato “1 em X”, o que matematicamente significa uma probabilidade de 1/X.
- Importante: Quanto menor o número X, maior é a probabilidade. É mais fácil acertar algo que tem chance de “1 em 10” do que “1 em 1000”.

Probabilidade de Eventos Independentes: Quando uma pessoa faz várias apostas que não interferem umas nas outras (eventos independentes), a chance total de ganhar (pelo menos um prêmio) é a soma das probabilidades individuais.
- Fórmula: P(Total) = P(Aposta 1) + P(Aposta 2) + …

Razão: É uma comparação entre dois valores através de uma divisão. No nosso caso, a razão P(José) / P(Antônio) nos dirá quem tem mais chances:
- Se a razão for maior que 1, o numerador (José) é maior.
- Se a razão for menor que 1, o denominador (Antônio) é maior.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada
Vamos simplificar a situação: José e Antônio fizeram apostas diferentes em loterias diferentes. José fez uma aposta mais cara na Mega-Sena, enquanto Antônio fez três apostas mais baratas na Quina. Nossa tarefa é, usando as tabelas de chances, descobrir a probabilidade de cada um e, em seguida, dividir a chance de José pela de Antônio para ver quem tem a “sorte” matemática a seu favor.

3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:

Encontrar a probabilidade de José acertar a quadra na Mega-Sena consultando a primeira tabela.
Descobrir o tipo de aposta que Antônio fez na Quina e encontrar a probabilidade de acertar o terno em uma dessas apostas na segunda tabela.
Multiplicar a chance de Antônio por 3, pois ele fez três apostas iguais.
Calcular a razão dividindo a probabilidade de José pela probabilidade total de Antônio.
Interpretar o resultado da razão.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado

1. Calculando a probabilidade de José (P(José)):

Jogo: Mega-Sena.
Aposta: Uma aposta de 7 números (custo de R$ 14,00).
Prêmio alvo: Quadra (menor prêmio da Mega-Sena na tabela).
Na tabela da Mega-Sena: Localize a linha “Nº Jogados” = 7. Siga até a coluna “Quadra”. O valor é 1 038.
Probabilidade de José: P(José) = 1 / 1038

2. Calculando a probabilidade de Antônio (P(Antônio)):

Jogo: Quina.
Aposta: Gastou R15,00emtre^sapostas.OlhandoatabeladaQuina,umaapostade7nuˊmeroscustaR15,00emtre^sapostas.OlhandoatabeladaQuina,umaapostade7nuˊmeroscustaR 5,00. Logo, ele fez três apostas de 7 números cada (3 * R5,00=R5,00=R 15,00).
Prêmio alvo: Terno (menor prêmio da Quina).
Na tabela da Quina: Localize a linha “Nº Jogados” = 7. Siga até a coluna “Terno”. O valor é 261.
A probabilidade de uma aposta de Antônio é 1 / 261.
Como ele fez três apostas, sua probabilidade total é:
Probabilidade de Antônio: P(Antônio) = 3 * (1 / 261) = 3 / 261

3. Calculando a razão P(José) / P(Antônio):
Agora, dividimos as duas probabilidades que encontramos.
Razão = (1 / 1038) / (3 / 261)

Para dividir frações, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda:
Razão = (1 / 1038) * (261 / 3)
Razão = 261 / (1038 * 3)
Razão = 261 / 3114

4. Interpretando o resultado:
O resultado da razão é 261/3114. Como o numerador (261) é menor que o denominador (3114), o resultado é um número menor que 1. Isso significa que P(José) < P(Antônio), ou seja, Antônio tem mais chances de acertar.

4.2 Verificação Intermediária
Encontramos a razão 261/3114 e concluímos que Antônio tem a maior probabilidade. Isso corresponde exatamente à alternativa A.

4.3 Possível armadilha
A maior armadilha é no cálculo da probabilidade de Antônio. Um erro comum seria pegar apenas a probabilidade de uma de suas apostas (1/261) e esquecer de multiplicar por 3. Outro erro seria não interpretar corretamente como os R$ 15,00 foram gastos e se confundir ao procurar os dados na tabela.

4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a uma razão de 261/3114, indicando que Antônio tem a maior chance de ganhar. Vamos verificar as alternativas para confirmar.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) 261/3114, o que mostra que Antônio tem mais chances de acertar.
B) 783/1038, o que mostra que Antônio tem mais chances de acertar.
C) 1038/261, o que mostra que José tem mais chances de acertar.
D) 3114/261, o que mostra que Antônio tem mais chances de acertar.
E) 3114/261, o que mostra que José tem mais chances de acertar.

5.2 Justificativa Individual

A) (🟢) Correta. O valor da razão (261/3114) e a conclusão (“Antônio tem mais chances”) estão ambos corretos, conforme nosso cálculo e interpretação.
B) (🔴) Incorreta. O valor numérico da razão está errado.
C) (🔴) Incorreta. A razão está invertida (P(Antônio) / P(José) sem o fator 3) e, consequentemente, a conclusão sobre quem tem mais chances está errada.
D) (🔴) Incorreta. A razão está invertida (P(Antônio) / P(José)). A conclusão de que Antônio tem mais chances está certa, mas a razão pedida na questão foi P(José) / P(Antônio).
E) (🔴) Incorreta. A razão está invertida e a conclusão (“José tem mais chances”) está errada.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio
Nós extraímos as probabilidades individuais de José e Antônio das tabelas, ajustando a probabilidade de Antônio para refletir suas três apostas. Em seguida, calculamos a razão solicitada (P(José) / P(Antônio)) e interpretamos o resultado para determinar quem tinha a maior chance de ganhar.

6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A) 261/3114, o que mostra que Antônio tem mais chances de acertar.

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Ao comparar probabilidades, lembre-se: quanto menor o denominador (o número depois de “1 em …”), maior a chance. E quando a razão A/B é menor que 1, significa que B é maior que A.