Os medicamentos, imediatamente após a ingestão, começam a ser metabolizados pelo organismo, o que faz com que sua concentração no sangue diminua gradualmente, num processo denominado decaimento. Denomina-se meia-vida de uma substância o tempo necessário para que o teor dessa substância no sangue se reduza à metade do valor inicial.
Considere a situação em que um médico prescreveu a um paciente uma dosagem de 800 mg de um medicamento cuja meia-vida é 6 horas, com recomendação de tomar um comprimido a cada 12 horas, durante 3 dias. Para esse medicamento, considera-se superdosagem um teor superior a 1 520 mg, o que causa riscos de intoxicação.
Apressado em recuperar-se a tempo de ir a uma festa, o paciente sugeriu ao médico que mudasse a prescrição para 6 em 6 horas, imaginando que, assim, reduziria o tempo de tratamento. O médico contra-argumentou, informando ao paciente que, caso antecipasse as doses, correria o risco de estar intoxicado em
A) 12 horas.
B) 24 horas.
C) 36 horas.
D) 48 horas.
E) 72 horas.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Decaimento Exponencial (Conceito de Meia-vida)
- Soma e Aritmética Sequencial
- Interpretação de Problemas
Tema/Objetivo Geral: Modelagem matemática da concentração de uma substância no organismo.
Nível da Questão
Médio – A questão não envolve fórmulas complexas, mas exige a aplicação repetida de um raciocínio em etapas (simulação). É necessário organizar o cálculo ao longo de vários intervalos de tempo, somando a nova dose ao remanescente da anterior. A chance de cometer um erro aritmético ou de lógica durante essa simulação passo a passo eleva a dificuldade do nível fácil para o médio.
Gabarito
B) 24 horas. – Esta alternativa está correta porque, ao simular a ingestão do medicamento a cada 6 horas, é no instante de 24 horas, ao tomar a 5ª dose, que a concentração total no sangue ultrapassa o limite de 1520 mg pela primeira vez.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“…o médico contra-argumentou, informando ao paciente que, caso antecipasse as doses, correria o risco de estar intoxicado em…”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos pede para descobrir em qual momento, em horas, a quantidade total do medicamento no corpo do paciente ultrapassaria o limite de superdosagem de 1520 mg, se ele seguisse a sua própria sugestão de tomar o remédio a cada 6 horas.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular, passo a passo, a concentração do medicamento no corpo a cada 6 horas, considerando que a quantidade existente cai pela metade e uma nova dose de 800 mg é adicionada, até que o total ultrapasse 1520 mg.
1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembrou que a nova dose de 800 mg é somada ao que sobrou das doses anteriores no corpo? É esse acúmulo que causa o risco de intoxicação!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver esta questão, precisamos entender alguns conceitos-chave:
- Meia-vida: É o tempo que leva para que a quantidade de uma substância se reduza à metade do seu valor inicial. No nosso problema, a meia-vida do medicamento é de 6 horas.
- Explicação: A cada 6 horas, não importa quanto remédio haja no sangue, essa quantidade será dividida por 2.
- Exemplo do cotidiano: Pense em uma xícara de café bem quente. A “meia-vida” do calor poderia ser o tempo que leva para o café perder metade do seu calor extra em relação à temperatura ambiente. Ele esfria mais rápido no começo e mais devagar depois, assim como o medicamento decai.
- Acúmulo de Substância: Quando uma pessoa toma doses de um medicamento em intervalos regulares, a nova dose se soma ao que ainda não foi eliminado pelo corpo das doses anteriores. Se o intervalo entre as doses for menor que o tempo necessário para eliminar a substância, a concentração no corpo vai aumentando progressivamente.
- Superdosagem (Intoxicação): Ocorre quando a concentração da substância no corpo atinge um nível tóxico, que no problema é definido como qualquer valor superior a 1520 mg.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos “mastigar” o problema: o corpo do paciente é como um balde. No momento zero, ele joga 800 mg (um copo cheio) de remédio dentro. Esse balde tem um pequeno furo, e a cada 6 horas, metade do líquido que está lá dentro vaza. O paciente, apressado, decide jogar um novo copo cheio (800 mg) no balde a cada 6 horas. Nós precisamos descobrir em que momento o balde vai transbordar, ou seja, quando a quantidade de remédio dentro dele passará de 1520 mg.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será simular a situação cronologicamente:
- Começar no tempo 0 com a primeira dose.
- Avançar de 6 em 6 horas.
- Em cada novo intervalo, primeiro calculamos quanto do remédio sobrou (dividindo o total anterior por 2).
- Depois, somamos a nova dose de 800 mg.
- Repetimos o processo até que a soma ultrapasse 1520 mg e anotamos em que hora isso aconteceu.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos seguir a linha do tempo, calculando a quantidade de medicamento no corpo. O limite de intoxicação é > 1520 mg.
- Tempo 0h (1ª dose):
- O paciente toma o primeiro comprimido.
- Total no corpo = 800 mg (Abaixo de 1520 mg. OK)
- Tempo 6h (2ª dose):
- Primeiro, a quantidade anterior cai pela metade: 800 mg / 2 = 400 mg.
- Agora, ele toma a segunda dose: 400 mg (restante) + 800 mg (nova) = 1200 mg.
- Total no corpo = 1200 mg (Abaixo de 1520 mg. OK)
- Tempo 12h (3ª dose):
- A quantidade de 6h cai pela metade: 1200 mg / 2 = 600 mg.
- Ele toma a terceira dose: 600 mg (restante) + 800 mg (nova) = 1400 mg.
- Total no corpo = 1400 mg (Abaixo de 1520 mg. OK)
- Tempo 18h (4ª dose):
- A quantidade de 12h cai pela metade: 1400 mg / 2 = 700 mg.
- Ele toma a quarta dose: 700 mg (restante) + 800 mg (nova) = 1500 mg.
- Total no corpo = 1500 mg (Abaixo de 1520 mg. OK, por pouco!)
- Tempo 24h (5ª dose):
- A quantidade de 18h cai pela metade: 1500 mg / 2 = 750 mg.
- Ele toma a quinta dose: 750 mg (restante) + 800 mg (nova) = 1550 mg.
- Total no corpo = 1550 mg (Superior a 1520 mg. INTOXICADO!)
4.2 Verificação Intermediária
Nossa simulação mostra que até o instante 18h, a concentração estava no limite, mas segura. No instante 24h, logo após a ingestão da 5ª dose, o total no corpo atingiu 1550 mg, ultrapassando o limiar de segurança de 1520 mg.
4.3 Possível armadilha
Uma armadilha comum seria esquecer de somar o remanescente com a nova dose, ou calcular a meia-vida apenas sobre a última dose tomada. O conceito crucial é o acúmulo: o que sobra de TODAS as doses anteriores contribui para o total. Outra armadilha seria parar no instante 18h, vendo o valor de 1500 mg e achando que já é a resposta, sem ler que o limite é superior a 1520 mg.
4.4 Fechamento e expectativa
O cálculo detalhado nos mostrou que o momento exato em que o risco de intoxicação se concretiza é em 24 horas. Portanto, esperamos que esta seja uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 12 horas.
B) 24 horas.
C) 36 horas.
D) 48 horas.
E) 72 horas.
5.2 Justificativa Individual
- A) 12 horas. (🔴) Incorreta. Como calculamos, no instante 12h a concentração total é de 1400 mg, que está abaixo do limite de 1520 mg.
- B) 24 horas. (🟢) Correta. É exatamente neste momento que a concentração total atinge 1550 mg, ultrapassando pela primeira vez o limiar de intoxicação.
- C) 36 horas. (🔴) Incorreta. Embora em 36 horas o paciente ainda estivesse intoxicado (e com uma concentração ainda maior), a pergunta pede o momento em que ele correria o risco, ou seja, o primeiro instante em que o limite é ultrapassado, que foi em 24h.
- D) 48 horas. (🔴) Incorreta. Pelo mesmo motivo da alternativa C, a intoxicação já teria ocorrido muito antes.
- E) 72 horas. (🔴) Incorreta. O tratamento original duraria 3 dias (72 horas), mas a intoxicação no esquema proposto pelo paciente ocorreria no primeiro dia.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Nós simulamos o processo de ingestão e metabolização do medicamento em intervalos de 6 horas, calculando a quantidade remanescente e somando a nova dose a cada passo. Isso nos permitiu identificar o exato momento em que a concentração total ultrapassou o nível de segurança.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B) 24 horas.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de meia-vida com doses repetidas, lembre-se que o corpo acumula o medicamento. A fórmula mental para cada passo é sempre: (Total anterior ÷ 2) + Nova dose.
