O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n) acrescido de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?
A) 100n + 350 = 120n + 150
B) 100n + 150 = 120n + 350
C) 100(n + 350) = 120(n + 150)
D) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000)
E) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Função afim (modelagem de custos), Equações de 1º grau, Interpretação algébrica de termos fixos e variáveis.
Tema/Objetivo Geral:
Modelar custos por função linear e igualar propostas para achar o ponto de indiferença.
Nível da Questão:
Fácil. A questão pede apenas montar duas funções custo do tipo C(n) = a*n + b e igualá-las. Não há cálculos extensos, só identificação correta de “custo por km” (coeficiente de n) e “valor fixo” (termo independente).
Gabarito:
Alternativa A. Porque traduz corretamente “100 000 por km + 350 000 fixos” e “120 000 por km + 150 000 fixos” e os iguala: 100n + 350 = 120n + 150.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Encontrar a equação que torna indiferente escolher qualquer proposta.”
1.2 O que está sendo pedido?
Obter a igualdade entre os custos totais das duas empresas em função de n (km).
1.3 Objetivo Cristalino
Escrever as duas funções de custo e igualá-las para achar a equação do ponto de indiferença.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembra que “valor fixo” não multiplica n e que apenas o preço por km multiplica n?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Função custo linear: C(n) = a*n + b
— a é o custo variável por unidade (aqui, por km).
— b é o custo fixo (pago independentemente da quantidade).
Ponto de indiferença: ocorre quando C1(n) = C2(n), isto é, os custos totais se igualam.
Exemplo do cotidiano: numa corrida de app, há bandeirada (fixo) e custo por km (variável). Para dois apps diferentes, o ponto onde pagaríamos o mesmo é quando igualamos os totais.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Temos duas empresas que cobram um fixo para começar e um valor por km construído. Queremos achar a equação que representa o momento em que os dois orçamentos dão o mesmo total.
3.2 Estratégia Geral
Identificar o custo por km e o valor fixo de cada empresa, escrever as duas funções custo e igualá-las. Em seguida, simplificar dividindo por 1000 para chegar ao formato das alternativas.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Para a 1ª empresa:
C1(n) = 100000*n + 350000 (100 000 por km e 350 000 fixos)
Para a 2ª empresa:
C2(n) = 120000*n + 150000 (120 000 por km e 150 000 fixos)
Igualando para o ponto de indiferença:
100000n + 350000 = 120000n + 150000
Dividindo toda a igualdade por 1000 (apenas para simplificar números):
100n + 350 = 120n + 150
4.2 Verificação Intermediária
Até aqui, a estrutura está coerente: termo com n representa “por km” e termo sem n representa “fixo”.
4.3 Possível armadilha
Confundir e somar o fixo com o por km dentro de um mesmo parêntese, como em 100*(n + 350), o que multiplicaria o fixo por n indevidamente. O fixo não depende de n, logo não pode ficar multiplicado por n.
4.4 Fechamento e expectativa
A igualdade simplificada esperada entre as duas propostas é 100n + 350 = 120n + 150. Agora vamos checar qual alternativa corresponde exatamente a isso.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 100n + 350 = 120n + 150
B) 100n + 150 = 120n + 350
C) 100(n + 350) = 120(n + 150)
D) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000)
E) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)
5.2 Justificativa Individual
A) 100n + 350 = 120n + 150 — 🟢 Correta. É a forma simplificada de 100000n + 350000 = 120000n + 150000, após dividir tudo por 1000.
B) 100n + 150 = 120n + 350 — 🔴 Errada. Inverteu os termos fixos: a 1ª deveria ter 350, a 2ª deveria ter 150.
C) 100(n + 350) = 120(n + 150) — 🔴 Errada. O valor fixo não deve ser multiplicado por n; aqui 350 e 150 seriam indevidamente “por km”.
D) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000) — 🔴 Errada. Mesmo erro conceitual: coloca os fixos dentro de parênteses multiplicados pelo custo por km, o que tornaria o fixo dependente de n.
E) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000) — 🔴 Errada. Mistura e troca indevidas de papéis entre fixo e variável; novamente faz o fixo depender de n.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Modelamos cada proposta como C(n) = custo_por_km*n + valor_fixo e igualamos para o ponto de indiferença, simplificando por 1000.
6.2 Gabarito Reafirmado
Alternativa A: 100n + 350 = 120n + 150.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
(Dica) Sempre identifique: variável (multiplica n) e fixo (não multiplica n). Para indiferença, igualar os custos totais.
