O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura:
Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O valor em m² mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é (Aproxime √3 para 1,7 e π para 3.)
A) 30.
B) 34.
C) 50.
D) 61.
E) 69.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Plana (setor circular, triângulo retângulo, área), Razão Trigonométrica (pitágoras, ângulo de 120°), Interpretação de figuras.
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de área de regiões parciais de círculos (setores circulares) e áreas de triângulos com auxílio de relações trigonométricas.
Nível da Questão:
Difícil. A questão exige visualização espacial, reconhecimento do setor circular como parte da área útil, uso de fórmula de setor com ângulo em graus, e análise geométrica não direta.
Gabarito:
Alternativa D — 61 m²
Correta porque, ao somar as duas áreas iluminadas (em forma de setor circular + triângulo), totaliza-se aproximadamente 30,3 m² por lâmpada, o que resulta em cerca de 61 m² com duas lâmpadas.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“O valor em m² mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é…”
1.2 O que está sendo pedido?
Calcular a área total do terreno que será iluminada pelas lâmpadas instaladas nos pontos C e D.
1.3 Objetivo Cristalino
Determinar a área iluminada por duas lâmpadas instaladas em vértices de um retângulo, considerando que cada uma ilumina um setor circular de 120° + triângulo associado.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembra como calcular a área de um setor circular e como converter ângulos em frações de círculo?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Setor circular: Parte de um círculo limitada por dois raios e o arco entre eles.
Fórmula da área:
Área = (θ / 360) * π * r²
onde θ é o ângulo em graus e r é o raio.
- Área do triângulo:
Para triângulo com base e altura ou usando razões trigonométricas.
Aqui, usaremos:
Área = (base * altura) / 2
- Teorema de Pitágoras:
Em triângulo retângulo:
hip² = cateto₁² + cateto₂²
- Valores aproximados fornecidos:
√3 ≈ 1,7
π ≈ 3
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Temos um terreno retangular de 10 m por 31,5 m. Serão instaladas 2 lâmpadas nos cantos inferiores (C e D). Cada lâmpada ilumina um setor circular de 120° com raio de 5 metros. Parte da luz se espalha para dentro do terreno.
3.2 Estratégia Geral
- Calcular a área iluminada por uma lâmpada, que é a soma do setor circular de 120° com um triângulo.
- Calcular a área total multiplicando por 2 (duas lâmpadas).
- Arredondar a área para o valor mais próximo dentre as opções.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
🔹 Parte 1 – Setor circular de 120° com raio 5 m:
Área_setor = (120 / 360) * π * 5²
Área_setor = (1/3) * 3 * 25 = 25 m²
🔹 Parte 2 – Triângulo retângulo CAN iluminado pela lâmpada em C:
Temos AC = 5 m (raio)
CM = 2,5 m (altura até lado do retângulo)
AN² = 5² – 2,5² = 25 – 6,25 = 18,75
AN = √18,75 ≈ 5 * √3 / 2 ≈ 5 * 1,7 / 2 = 4,25 m (aproximadamente)
Área_triângulo = (base * altura) / 2
Área_triângulo = (2,5 * 4,25) / 2 = 10,625 / 2 ≈ 5,31 m²
🔹 Área total iluminada por uma lâmpada:
Área_total_1 = setor + triângulo
Área_total_1 = 25 + 5,31 ≈ 30,31 m²
🔹 Como são 2 lâmpadas:
Área_total = 2 * 30,31 = 60,62 m², que é aproximadamente 61 m²
4.2 Verificação Intermediária
Sim! Cada lâmpada ilumina cerca de 30,3 m². O dobro disso dá 60,6 m² → valor próximo de 61 m², como esperado.
4.3 Possível armadilha
Você pode ter pensado que o círculo completo era usado ou que a área era só do setor. Mas a área iluminada atinge parte vertical do terreno, o que inclui o triângulo adicional. E lembre-se: 120° é apenas 1/3 de 360°, então multiplique por 1/3!
4.4 Fechamento e Expectativa
Terminamos somando as duas áreas (setor + triângulo), multiplicamos por 2, e chegamos ao valor total de 61 m², que está nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 30
B) 34
C) 50
D) 61
E) 69
5.2 Justificativa Individual
A) 30 — 🔴 Corresponde aproximadamente à área de uma lâmpada só. Erro comum de esquecer de multiplicar por 2.
B) 34 — 🔴 Próximo da anterior, talvez tentativa de arredondamento com cálculo incompleto.
C) 50 — 🔴 Subestima a área total iluminada. Não corresponde nem à soma de dois setores (25 + 25 = 50).
D) 61 — 🟢 Correta! Valor arredondado da soma das duas áreas completas por lâmpada.
E) 69 — 🔴 Acima do possível. Excede mesmo que as lâmpadas iluminassem metade do círculo inteiro (o que não é o caso).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Calculamos a área de um setor cirular de 120° mais a de um triângulo retângulo associado. Somamos essas áreas e multiplicamos por 2 lâmpadas.
6.2 Gabarito Reafirmado
✅ Alternativa D — 61 m²
6.3 Resumo Final para Revisão
🧠 Sempre que o problema envolver setores circulares, lembre-se de usar a fórmula da fração do círculo: (θ / 360) * π * r².
