Um diretor esportivo organiza um campeonato no qual haverá disputa de times em turno e returno, isto é, cada time jogará duas vezes com todos os outros, totalizando 380 partidas a serem disputadas.
A quantidade de times (x) que faz parte desse campeonato pode ser calculada pela equação
A) x = 380 – x²
B) x² – x = 380
C) x² = 380
D) 2x – x = 380
E) 2x = 380
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Análise Combinatória): Princípio Fundamental da Contagem.
- Álgebra: Modelagem de Equações do 2º Grau.
- Lógica Matemática: Raciocínio de grafos e relações entre pares.
Tema/Objetivo Geral:
Deduzir a expressão algébrica que representa a quantidade total de partidas em um torneio de dois turnos (casa e fora), relacionando o número de participantes (x) ao total de jogos (380).
Nível da Questão
Médio. O desafio exige que o aluno saiba traduzir a lógica de um campeonato (“todo mundo joga contra todo mundo”) em uma expressão matemática, lembrando que um time nunca joga contra si mesmo.
Gabarito
Alternativa B (x^2 – x = 380). O número total de jogos é o produto da quantidade de times (x) pelo número de adversários de cada time (x-1). Desenvolvendo x(x-1), chegamos a x^2 – x = 380.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir qual é a “lei” matemática que organiza a tabela de um campeonato. Precisamos ligar o número de clubes (x) ao total de apitos finais (380), sabendo que cada time visita e recebe todos os seus adversários.
Simplificação Radical: Pense em uma festa onde cada convidado deve entregar dois presentes para cada um dos outros convidados. Se foram entregues 380 presentes no total, qual conta representa o planejamento dessa entrega considerando x pessoas?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Determinar quantos jogos um único time faz (seus oponentes).
- Multiplicar esse valor pelo total de times participantes.
- Desenvolver a expressão algébrica resultante.
- Igualar ao valor total de 380 fornecido.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta perícia esportiva, utilizaremos o Dossiê de Contagem de Torneios:
- O Adversário: Em um grupo de x times, um time específico não joga contra si mesmo. Ele joga contra todos os outros, ou seja, contra (x – 1) times.
- Turno e Returno (Arranjo): Em campeonatos com mando de campo, a ordem importa (Time A vs B é diferente de B vs A). Por isso, não dividimos por 2.
- Fórmula Direta: Total de Jogos = Número de times * Número de oponentes.
- Propriedade Distributiva: x * (x – 1) = x^2 – x.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos montar o esqueleto da equação passo a passo:
- Análise de 1 Time: Imagine o seu time favorito. Se o campeonato tem x times, ele entrará em campo x-1 vezes para enfrentar os adversários.
- Análise de Todos os Times: Como todos os x times fazem esse mesmo percurso de x-1 jogos, o cálculo do total de partidas é:
- Total = x * (x – 1)
- Desenvolvimento da Álgebra:
- Multiplicamos o x pelos termos do parêntese:
- x vezes x = x^2
- x vezes -1 = -x
- Resultado: x^2 – x
- Fechamento com o Dado Real:
- O enunciado afirma que o total é 380.
- Portanto: x^2 – x = 380.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum é marcar a Alternativa C (x^2 = 380). O aluno pensa: “Se são x times e x posições, é x vezes x”. Mas lembre-se: nenhum time joga contra si mesmo! A tabela de jogos sempre tem um “vazio” na diagonal principal (os jogos impossíveis), e esse vazio é representado pelo “- x” na fórmula.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
- Síntese do raciocínio: O total de jogos é o número de times multiplicado por seus oponentes.
- Expectativa: Uma equação que mostre x^2 diminuído de x.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) x = 380 – x^2
- Narrativa do Erro: O aluno tenta isolar o x de forma confusa, trocando os sinais da igualdade.
- Diagnóstico do Erro: Erro de manipulação algébrica.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) x^2 – x = 380
- Análise: Perfeito. Segue a lógica correta da contagem de jogos em turno e returno (Arranjo de x tomados 2 a 2), resultando na modelagem fiel do problema.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
C) x^2 = 380
- Narrativa do Erro: O aluno esquece que um time não pode enfrentar a si próprio.
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (ignorar a restrição lógica de auto-confronto).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) 2x – x = 380
- Narrativa do Erro: O aluno tenta representar “turno e returno” como o dobro de x, mas erra a natureza multiplicativa da contagem.
- Diagnóstico do Erro: Erro de modelagem linear para um fenômeno quadrático.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
E) 2x = 380
- Narrativa do Erro: O aluno assume que cada time joga apenas 2 vezes no campeonato inteiro.
- Diagnóstico do Erro: Fuga total ao tema de campeonatos de pontos corridos.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é a Alternativa B. Curiosidade: se você aplicar a fórmula de Bhaskara, descobrirá que x = 20. Ou seja, um campeonato com 20 times (como o Brasileirão) gera exatamente 380 jogos.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Time vezes oponente (x-1) é a regra que organiza o jogo no campo e na mente!”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este mesmo cálculo é usado na Ciência da Computação para medir a “Complexidade de Algoritmos”. Se um programa precisa comparar cada dado de uma lista com todos os outros, dizemos que ele tem complexidade quadrática. Quanto mais dados (times) entram no sistema, o tempo de processamento (jogos) cresce muito mais rápido, seguindo exatamente essa curva de x^2 – x.
