Uma fábrica de produtos químicos utiliza, para armazenar a sua produção, recipientes na forma de cilindros circulares retos, com 1 metro de altura e raio externo da base igual a 25 cm. Para facilitar o transporte desse tipo de recipiente, cada um deles será colocado dentro de uma caixa, na forma de paralelepípedo retangular reto de base quadrada, e com a mesma altura do cilindro. A empresa deseja construir a menor caixa possível em que possa colocar cada cilindro.
De acordo com o texto, a medida interna do lado da base da caixa, em centímetro, a ser construída será igual a
A) 25.
B) 35.
C) 39.
D) 50.
E) 157.
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial (Cilindros e Paralelepípedos).
Nível da Questão: Fácil.
Gabarito: Alternativa D (50 cm).
Tema/Objetivo Geral: Determinar a menor medida possível do lado da base de uma caixa (paralelepípedo retangular reto), necessária para armazenar um cilindro circular reto, aplicando relações básicas entre diâmetro e lado.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da Questão:
“Determinar a medida interna do lado da base da menor caixa possível para acomodar um cilindro circular reto com raio externo igual a 25 cm.”
🔹 Explicação Detalhada:
O comando pede para calcular o lado interno da base quadrada da menor caixa (um paralelepípedo) que consiga armazenar perfeitamente um cilindro circular reto. Isso significa que a base da caixa deve ter exatamente a medida do diâmetro da base do cilindro, pois não deve sobrar espaço lateral.
📌 Palavras-chave:
✔ Menor caixa possível → significa que a caixa deve ter exatamente o espaço suficiente para acomodar o cilindro sem sobra.
✔ Raio externo de 25 cm → dado fundamental para achar o diâmetro do cilindro.
📌 Objetivo:
✔ Encontrar a medida exata do lado da base quadrada da caixa em centímetros.
📌 Dica Geral:
⚠️ Sempre identifique claramente as medidas que podem relacionar-se, especialmente raio e diâmetro, para evitar erros básicos na geometria.
Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
🔹 Cilindro circular reto:
Figura geométrica tridimensional composta por duas bases circulares iguais e uma superfície lateral perpendicular a elas. A medida fundamental para esta questão é o raio e o diâmetro da base.
🔹 Diâmetro e Raio:
- Raio (r): Distância do centro do círculo até qualquer ponto da sua borda.
- Diâmetro (d): É duas vezes a medida do raio (d = 2 × r).
🔹 Paralelepípedo Retangular Reto com base quadrada:
Sólido geométrico tridimensional formado por seis faces retangulares (nesse caso, quadradas na base), com arestas perpendiculares.
✔ Importante:
Para a caixa ser a menor possível, o lado da base deve coincidir exatamente com o diâmetro do cilindro.
Agora que os conceitos essenciais foram estabelecidos, vamos interpretar detalhadamente o texto da questão.
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto (Texto):
🔹 O texto descreve uma fábrica que usa cilindros para armazenar produtos químicos. Esses cilindros têm raio externo de 25 cm e altura de 1 metro.
🔹 A empresa quer transportar esses cilindros dentro de caixas em formato de paralelepípedo retangular reto de base quadrada com altura exatamente igual à altura do cilindro (1 metro).
📌 Análise das Medidas:
✔ Raio do cilindro = 25 cm.
✔ Altura do cilindro = 1 metro (não influencia na medida da base quadrada).
✔ Menor caixa possível → o lado da base da caixa será igual ao diâmetro da base do cilindro (2 × raio).
Agora que interpretamos o texto e suas informações, vamos desenvolver o raciocínio matemático com clareza.
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Raciocínio Completo:
🔹 Sabemos que o cilindro possui um raio igual a 25 cm. Para encontrar o lado da base quadrada da caixa, devemos primeiro calcular o diâmetro da base do cilindro.
🔹 Cálculo do Diâmetro:
✔ Diâmetro = 2 × raio
✔ Diâmetro = 2 × 25
✔ Diâmetro = 50 cm
🔹 Como a caixa deve ter o menor tamanho possível (sem espaço sobrando), seu lado deve ser exatamente igual ao diâmetro do cilindro.
✔ Conclusão:
Lado da base quadrada da caixa = 50 cm.
Com os cálculos realizados, vamos agora analisar as alternativas apresentadas.
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Reescrita e Análise das Alternativas:
- ❌ Alternativa A: 25 cm (representa apenas o raio do cilindro, insuficiente para acomodá-lo).
- ❌ Alternativa B: 35 cm (não corresponde ao valor correto encontrado, nem relacionado diretamente ao raio ou diâmetro do cilindro).
- ❌ Alternativa C: 39 cm (também não corresponde ao valor correto obtido no cálculo, sem relevância direta com a figura).
- ✅ Alternativa D: 50 cm (resultado correto encontrado no desenvolvimento da questão, correspondendo exatamente ao diâmetro da base do cilindro, portanto, medida correta da caixa).
- ❌ Alternativa E: 157 cm (exageradamente grande e incorreto, possivelmente confundindo com perímetro ou outra medida irrelevante para o que foi pedido).
✔ Dica Geral:
⚠️ Questões de geometria frequentemente possuem respostas “armadilhas”, como raio sendo confundido com diâmetro. Sempre faça um desenho ou anote claramente a relação raio-diâmetro para evitar confusões.
Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e justificativa final.
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
🔹 O raio da base do cilindro é de 25 cm.
🔹 Para acomodar perfeitamente o cilindro, a base quadrada da caixa deve ter a mesma medida do diâmetro do cilindro.
🔹 Como o diâmetro é 2 vezes o raio, temos: 2 × 25 cm = 50 cm.
✔ Alternativa correta: Alternativa D (50 cm).
🔍 Resumo Final:
- Raio do cilindro: 25 cm.
- Diâmetro: 50 cm.
- Menor caixa possível: lado = 50 cm.
- Alternativa correta claramente justificada: Alternativa D.
