Questão 157 caderno azul do ENEM 2024 PPL – Dia 2

Uma fábrica de produtos químicos utiliza, para armazenar a sua produção, recipientes na forma de cilindros circulares retos, com 1 metro de altura e raio externo da base igual a 25 cm. Para facilitar o transporte desse tipo de recipiente, cada um deles será colocado dentro de uma caixa, na forma de paralelepípedo retangular reto de base quadrada, e com a mesma altura do cilindro. A empresa deseja construir a menor caixa possível em que possa colocar cada cilindro.

De acordo com o texto, a medida interna do lado da base da caixa, em centímetro, a ser construída será igual a

A) 25.

B) 35.

C) 39.

D) 50.

E) 157.

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial (Cilindros e Prismas) e Geometria Plana (Inscrição de Circunferência em Quadrado).

Tema/Objetivo Geral: Determinar a medida do lado da base de um prisma quadrangular (caixa) capaz de conter um cilindro, relacionando o diâmetro do cilindro com o lado do quadrado.

Nível da Questão: Fácil.
Por que Fácil? A questão não exige fórmulas complexas de volume ou área. É um problema puramente visual de encaixe geométrico: colocar um círculo dentro de um quadrado. O cálculo se resume a uma multiplicação por 2.

Gabarito: D (50).
A alternativa está correta pois, para que o cilindro caiba na menor caixa quadrada possível, o lado do quadrado deve ser igual ao diâmetro do círculo da base do cilindro (2 vezes o raio).

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
A questão diz: “Eu tenho um pote redondo (cilindro) e quero colocá-lo dentro de uma caixa quadrada justa (sem folga). Qual deve ser a largura da caixa?”
O dado principal é o raio do pote: 25 cm.

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você está olhando de cima.

O cilindro parece um Círculo.
A caixa parece um Quadrado.
Para o círculo caber justinho dentro do quadrado, a largura do quadrado tem que ser igual à largura total do círculo.
A largura total do círculo chama-se Diâmetro.

Plano de Ataque:

Identificar o Raio: O texto deu o valor (25 cm).
Calcular o Diâmetro: O diâmetro é o dobro do raio.
Concluir o Lado: O lado da caixa é igual ao diâmetro.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos usar a Geometria Plana (vista de cima):

Ferramenta 1: Relação Raio x Diâmetro

Raio (r): Distância do centro até a borda.
Diâmetro (d): Distância de uma borda até a outra, passando pelo centro.
Fórmula: d = 2 . r

Ferramenta 2: Inscrição (Círculo dentro do Quadrado)
Quando um círculo está inscrito em um quadrado (toca os quatro lados), o lado do quadrado (L) é exatamente igual ao diâmetro do círculo (d).

Fórmula: L = d = 2r

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos aos cálculos:

Dado do Problema:
- Raio externo (r) = 25 cm.
- Altura = 1 metro (Isso é uma “pegadinha” de distração. Como a caixa tem a mesma altura do cilindro, não precisamos calcular nada com esse número. O problema é só na base).
Cálculo do Diâmetro:
- Se o raio é 25, o diâmetro é o dobro.
- d=2×25
- d=50.
Definição da Caixa:
- A caixa é a “menor possível”. Isso significa que as paredes da caixa estão encostadas no cilindro.
- Logo, a largura da caixa (L) é igual ao diâmetro do cilindro.
- L=50.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Muitos alunos marcam a Alternativa A (25).
Eles pensam: “O raio é 25, então a medida da caixa é 25”.
Cuidado! O raio é só metade da largura. Se a caixa tivesse 25 cm de largura, só caberia metade do cilindro! A caixa precisa cobrir o cilindro todo (de ponta a ponta), ou seja, o diâmetro.

A Bússola (Síntese):
Lado da Caixa = Diâmetro do Cilindro = 2 vezes o Raio.

Expectativa: Alternativa D.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) 25.
- Diagnóstico do Erro: O aluno confundiu Raio com Diâmetro/Lado. A caixa teria apenas a metade do tamanho necessário.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

B) 35.
- Diagnóstico do Erro: Número aleatório, talvez uma tentativa errada de calcular diagonal ou perímetro.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

C) 39.
- Diagnóstico do Erro: Sem base lógica clara com os dados fornecidos.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

D) 50.
- Análise: Perfeita. O lado do quadrado circunscrito a uma circunferência é igual ao diâmetro.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

E) 157.
- Diagnóstico do Erro: O aluno calculou o Comprimento da Circunferência
- Isso seria útil se fôssemos passar uma fita em volta do cilindro, mas não é o lado da caixa quadrada.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
Para acondicionar um cilindro dentro da menor caixa de base quadrada possível, a medida do lado da base da caixa deve corresponder ao diâmetro da base do cilindro, que é o dobro do raio fornecido (2×25=50).

Resumo-flash (A Imagem Mental):
“O Círculo mora dentro do Quadrado. A largura da casa (quadrado) tem que ser igual à largura do morador (diâmetro).”

🧠 Para ir Além (Logística):
Por que as empresas transportam cilindros em caixas quadradas?
Porque cilindros não empilham bem (eles rolam e deixam espaços vazios difíceis de travar). Caixas quadradas ou retangulares se encaixam perfeitamente em caminhões e contêineres, otimizando o espaço e garantindo estabilidade, mesmo que se perca um pouco de volume nos “cantinhos” da caixa.