Vítor deseja revestir uma sala retangular de dimensões 3 m x 4 m, usando um tipo de peça de cerâmica. Em uma pesquisa inicial, ele selecionou cinco tipos de peças disponíveis, nos seguintes formatos e dimensões:
• Tipo I: quadrados, com 0,5 m de lado.
• Tipo II: triângulos equiláteros, com 0,5 m de lado.
• Tipo III: retângulos, com dimensões 0,5 m x 0,6 m.
• Tipo IV: triângulos retângulos isósceles, cujos catetos medem 0,5 m.
• Tipo V: quadrados, com 0,6 m de lado.
Analisando a pesquisa, o mestre de obras recomendou que Vítor escolhesse um tipo de piso que possibilitasse a utilização do menor número de peças e não acarretasse sobreposições ou cortes nas cerâmicas.
Qual o tipo de piso o mestre de obras recomendou que fosse comprado?
A) Tipo I.
B) Tipo II.
C) Tipo III.
D) Tipo IV.
E) Tipo V.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Área e Propriedades de Quadrados, Retângulos e Triângulos)
- Divisibilidade
- Raciocínio Lógico
Tema/Objetivo Geral:
Otimização de recursos através da escolha do revestimento que cobre uma área retangular com o menor número de peças, sem permitir cortes ou sobreposições.
Nível da Questão
Médio – A questão é de nível médio porque não se resolve apenas com um cálculo, mas com uma análise caso a caso das cinco opções. Exige que o aluno avalie a viabilidade de cada tipo de piso (se ele consegue preencher um canto de 90° sem cortes) e, para os viáveis, calcule o número total de peças. A dificuldade está em gerenciar essas múltiplas análises e comparações corretamente.
Gabarito
Alternativa C) – Esta alternativa está correta. O piso do tipo III, com retângulos de 0,5m x 0,6m, é o que consegue revestir perfeitamente a sala de 3m x 4m usando o menor número de peças (40 peças) entre as opções viáveis.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Vitor escolhesse um tipo de piso que possibilitasse a utilização do menor número de peças e não acarretasse sobreposições ou cortes nas cerâmicas.”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para identificar qual dos cinco tipos de piso permite cobrir completamente uma sala de 3m x 4m, sem sobras ou cortes, usando a menor quantidade possível de peças.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é testar cada um dos cinco tipos de piso, verificar se eles conseguem preencher a área sem cortes e, para os que conseguem, calcular o total de peças necessárias para encontrar o mais econômico.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que as duas condições são igualmente importantes? O piso precisa: 1) encaixar perfeitamente (sem cortes) e 2) usar o menor número de peças. Um piso pode até encaixar, mas se gastar muitas peças, pode não ser o melhor!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Revestimento (Ladrilhamento):
- Definição: É a cobertura de uma superfície plana com figuras geométricas (ladrilhos ou peças) de forma que não haja sobreposições nem espaços vazios.
- Condição Principal: Para revestir uma área retangular com peças retangulares ou quadradas sem cortes, as dimensões da área devem ser múltiplos inteiros das dimensões das peças.
- Propriedades das Formas:
- Quadrado/Retângulo: Possuem ângulos internos de 90°, o que facilita o preenchimento dos cantos de uma sala retangular.
- Triângulo Equilátero: Possui todos os ângulos internos de 60°. É impossível formar um canto de 90° usando apenas triângulos equiláteros sem cortá-los.
- Triângulo Retângulo Isósceles: Possui um ângulo de 90° e dois de 45°. Dois triângulos desses podem ser unidos pelos seus lados maiores (hipotenusa) para formar um quadrado.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que você tem uma sala de 3 metros por 4 metros e vai à loja comprar piso. Há cinco opções na prateleira. O pedreiro te deu duas ordens: “Compre o piso que se encaixe perfeitamente na sala sem precisar da maquininha de cortar” e “Tente comprar o que gaste menos peças para economizar no rejunte”. Nossa tarefa é fazer essa escolha.
3.2 Estratégia Geral
Vamos analisar cada tipo de piso, um por um:
- Verificar se as dimensões da peça “cabem” perfeitamente nas dimensões da sala (3 m e 4 m), ou seja, se a divisão resulta em um número inteiro.
- Para os tipos que forem viáveis, calcular o número total de peças necessárias.
- Comparar o número de peças dos tipos viáveis e escolher o menor.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos analisar cada tipo de piso para a sala de 3 m x 4 m.
- Tipo I: Quadrados de 0,5 m de lado.
- Peças no comprimento de 3 m: 3 / 0,5 = 6 peças
- Peças na largura de 4 m: 4 / 0,5 = 8 peças
- Viabilidade: Sim, encaixa perfeitamente.
- Total de peças: 6 * 8 = 48 peças.
- Tipo II: Triângulos equiláteros de 0,5 m de lado.
- Viabilidade: Não. Os ângulos internos são de 60°. Não é possível preencher o canto de 90° da sala sem cortar as peças.
- Total de peças: Não aplicável. Descartado.
- Tipo III: Retângulos de 0,5 m x 0,6 m.
- Temos duas orientações possíveis. Vamos testar a melhor.
- Orientação 1: Lado de 0,6 m no comprimento de 3 m e lado de 0,5 m na largura de 4 m.
- Peças no comprimento: 3 / 0,6 = 5 peças
- Peças na largura: 4 / 0,5 = 8 peças
- Viabilidade: Sim, encaixa perfeitamente.
- Total de peças: 5 * 8 = 40 peças.
- Nota: Se tentássemos a outra orientação (3/0,5 e 4/0,6), não daria certo pois 4 não é divisível por 0,6. Mas como a primeira orientação funciona, este tipo é viável.
- Tipo IV: Triângulos retângulos isósceles com catetos de 0,5 m.
- Análise: Dois desses triângulos formam um quadrado de lado 0,5 m. Portanto, usar esse piso é equivalente a usar o Tipo I, mas com o dobro de peças.
- Viabilidade: Sim, encaixa perfeitamente.
- Total de peças: (Total do Tipo I) * 2 = 48 * 2 = 96 peças.
- Tipo V: Quadrados com 0,6 m de lado.
- Peças no comprimento de 3 m: 3 / 0,6 = 5 peças
- Peças na largura de 4 m: 4 / 0,6 = 6,66…
- Viabilidade: Não. Não é possível preencher a largura de 4 m com peças de 0,6 m sem cortes. Descartado.
4.2 Verificação Intermediária
Ficamos com as seguintes opções viáveis e seus respectivos totais de peças:
- Tipo I: 48 peças
- Tipo III: 40 peças
- Tipo IV: 96 peças
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é esquecer um dos critérios. Por exemplo, você poderia calcular a área da sala (12 m²) e a área de cada peça e dividir uma pela outra. Isso ignoraria a restrição de “não cortar”. Por exemplo, a área do piso Tipo V é 0,36 m². Dividindo 12 por 0,36 dá 33,33, o que poderia levar a conclusões erradas. O método correto é sempre verificar a divisibilidade dos lados.
4.4 Fechamento e expectativa
Comparando os totais de peças das opções viáveis (48, 40 e 96), o menor número é 40, que corresponde ao piso do Tipo III. A alternativa C é a correta.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) Tipo I.
B) Tipo II.
C) Tipo III.
D) Tipo IV.
E) Tipo V.
5.2 Justificativa Individual
- A) Tipo I. (🔴) – Embora seja uma opção viável que preenche a sala sem cortes, requer 48 peças, que é mais do que as 40 peças do Tipo III.
- B) Tipo II. (🔴) – Inviável. Não é possível revestir um canto retangular com triângulos equiláteros sem cortes.
- C) Tipo III. (🟢) – Correta. É uma opção viável e requer o menor número de peças entre as opções viáveis (40 peças).
- D) Tipo IV. (🔴) – Opção viável, mas requer 96 peças, sendo a mais cara em termos de quantidade de peças.
- E) Tipo V. (🔴) – Inviável. A dimensão da peça (0,6 m) não divide a largura da sala (4 m) de forma inteira, exigindo cortes.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada através de um processo de eliminação e comparação. Primeiro, eliminamos os pisos cujas formas ou dimensões não permitiam um revestimento sem cortes. Em seguida, calculamos o número total de peças para os pisos restantes e escolhemos aquele com a menor quantidade.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C), pois o Tipo III é o que cumpre os dois requisitos: encaixe perfeito e menor número de peças (40).
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para problemas de revestimento sem cortes, a chave é a divisibilidade. As dimensões da área a ser coberta devem ser múltiplos inteiros das dimensões da peça. Sempre verifique essa condição antes de calcular a quantidade total.
