Uma casa lotérica oferece cinco opções de jogos. Em cada opção, o apostador escolhe um grupo de K números distintos em um cartão que contém um total de N números disponíveis, gerando, dessa forma, um total de C combinações possíveis para se fazer a marcação do cartão. Ganha o prêmio o cartão que apresentar os K números sorteados. Os valores desses jogos variam de R$ 1,00 a R$ 2,00, conforme descrito no quadro.
Um apostador dispõe de R$ 2,00 para gastar em uma das cinco opções de jogos disponíveis.
Segundo o valor disponível para ser gasto, o jogo que oferece ao apostador maior probabilidade de ganhar prêmio é o
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Probabilidade clássica (razão entre casos favoráveis e total de casos) e operações com frações/decimais.
Tema/Objetivo Geral:
Determinar, com orçamento fixo de R$ 2,00, qual das cinco opções de jogo oferece maior probabilidade de ganhar, considerando o número de combinações possíveis (C) e o preço do jogo.
Nível da Questão:
Médio — exige interpretar uma tabela, calcular quantas apostas cabem no orçamento e comparar probabilidades muito pequenas (frações com denominadores grandes). É necessário cuidado com comparação de frações e arredondamentos.
Gabarito:
✅ Alternativa E) V.
Resumo: com R$ 2,00 o apostador pode comprar 1 bilhete do jogo V e a quantidade total de combinações é a menor entre as opções de 1 bilhete, logo a probabilidade 1 / 2 118 760 é a maior.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Um apostador dispõe de R$ 2,00 para gastar em uma das cinco opções de jogos disponíveis. Segundo o valor disponível para ser gasto, o jogo que oferece ao apostador maior probabilidade de ganhar prêmio é o …”
1.2 O que está sendo pedido?
Escolher, entre os jogos I–V, qual oferece maior probabilidade de acerto quando o apostador tem R$ 2,00.
1.3 Objetivo Cristalino
Calcular a probabilidade efetiva de ganhar em cada opção considerando quantos bilhetes podem ser comprados com R$ 2,00 e comparar essas probabilidades para escolher a maior.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembrará que probabilidades aumentam com mais bilhetes comprados e com menor número de combinações C — ambas as coisas importam!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Probabilidade clássica (P): P = (número de bilhetes comprados) / (número total de combinações possíveis C).
Fórmula: P = jogadas / C
- Número de bilhetes compráveis com R$ 2,00:
jogadas = ⌊ 2,00 / preço_do_jogo ⌋ (parte inteira).
- Comparação de frações pequenas: para frações com mesmo numerador, a maior é a de menor denominador; para numeradores diferentes, podemos transformar ou aproximar em decimal para comparar.
Exemplo: se posso comprar 2 bilhetes em um jogo com C = 10 000, P = 2 / 10 000 = 1 / 5 000.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Com R$ 2,00 o apostador pode comprar 1 ou 2 bilhetes dependendo do preço do jogo. Para cada jogo calculamos: jogadas possíveis (1 ou 2) e a probabilidade P = jogadas / C. Depois comparamos as cinco P para decidir qual é maior.
3.2 Estratégia Geral
- Determinar quantas jogadas cabem com R$ 2,00 para cada jogo.
- Calcular P = jogadas / C para cada opção.
- Comparar as probabilidades (convertendo em decimais quando necessário) e escolher a maior.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Dados relevantes (da tabela):
- Jogo I: preço = R$ 1,50 → C = 8 145 060
- Jogo II: preço = R$ 1,00 → C = 15 890 700
- Jogo III: preço = R$ 2,00 → C = 5 461 512
- Jogo IV: preço = R$ 1,00 → C = 50 063 860
- Jogo V: preço = R$ 2,00 → C = 2 118 760
Calcular número de jogadas com R$ 2,00 (parte inteira):
- Jogo I: jogadas = ⌊2,00 / 1,50⌋ = ⌊1,333…⌋ = 1
- Jogo II: jogadas = ⌊2,00 / 1,00⌋ = ⌊2⌋ = 2
- Jogo III: jogadas = ⌊2,00 / 2,00⌋ = ⌊1⌋ = 1
- Jogo IV: jogadas = ⌊2,00 / 1,00⌋ = 2
- Jogo V: jogadas = ⌊2,00 / 2,00⌋ = 1
Calcular probabilidades P = jogadas / C (cada cálculo mostrado):
- P(I) = 1 / 8 145 060
- P(II) = 2 / 15 890 700
Podemos simplificar: 2 / 15 890 700 = 1 / 7 945 350 - P(III) = 1 / 5 461 512
- P(IV) = 2 / 50 063 860
Simplificar: 2 / 50 063 860 = 1 / 25 031 930 - P(V) = 1 / 2 118 760
Converter para aproximações decimais (para comparação clara):
Vou calcular cada inverso com 7 dígitos significativos para garantir precisão:
- P(I) = 1 / 8 145 060
1 ÷ 8 145 060 ≈ 0,0000001227 (aprox. 1,227 × 10^−7)
- P(II) = 1 / 7 945 350
1 ÷ 7 945 350 ≈ 0,0000001258 (aprox. 1,258 × 10^−7)
- P(III) = 1 / 5 461 512
1 ÷ 5 461 512 ≈ 0,0000001831 (aprox. 1,831 × 10^−7)
- P(IV) = 1 / 25 031 930
1 ÷ 25 031 930 ≈ 0,0000000400 (aprox. 4,00 × 10^−8)
- P(V) = 1 / 2 118 760
1 ÷ 2 118 760 ≈ 0,0000004720 (aprox. 4,720 × 10^−7)
4.2 Verificação Intermediária
Ordenando do maior para o menor (pelas aproximações):
P(V) ≈ 4,720e−7 > P(III) ≈ 1,831e−7 > P(II) ≈ 1,258e−7 > P(I) ≈ 1,227e−7 > P(IV) ≈ 0,400e−7.
4.3 Possível armadilha
Erro comum: escolher o jogo com mais bilhetes possíveis (2 bilhetes) sem notar que seu C pode ser enorme (por exemplo, jogo IV tem 2 bilhetes mas C muito grande, resultando probabilidade muito baixa). Sempre compare a razão jogadas/C ou converta para decimal.
4.4 fechamento e expectativa
A maior probabilidade é do jogo V, porque, mesmo com apenas 1 bilhete (R$ 2,00), seu número de combinações C = 2 118 760 é o menor entre as opções onde o apostador compra 1 bilhete, oferecendo assim a maior chance.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
5.2 Justificativa Individual
- A) Jogo I – 🔴 Errada.
P(I) = 1 / 8 145 060 ≈ 1,227 × 10^−7; menor que P(V).
- B) Jogo II – 🔴 Errada.
P(II) = 2 / 15 890 700 = 1 / 7 945 350 ≈ 1,258 × 10^−7; ainda menor que P(V).
- C) Jogo III – 🔴 Errada.
P(III) = 1 / 5 461 512 ≈ 1,831 × 10^−7; segunda melhor, mas inferior a P(V).
- D) Jogo IV – 🔴 Errada.
P(IV) = 2 / 50 063 860 = 1 / 25 031 930 ≈ 0,400 × 10^−7; a pior dentre todas.
- E) Jogo V – 🟢 Correta.
P(V) = 1 / 2 118 760 ≈ 4,720 × 10^−7 — a maior probabilidade possível com R$ 2,00.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio:
Com R$ 2,00 o apostador compra 1 bilhete nos jogos I, III e V; entre esses, o jogo V tem o menor número de combinações (2 118 760), logo sua probabilidade 1 / 2 118 760 é a maior entre todas as opções.
6.2 Gabarito Reafirmado:
✅ Alternativa E) V.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍:
- Calcule quantos bilhetes cabem no orçamento;
- calcule P = jogadas / C;
- maior P = maior chance de ganhar.
Sempre compare frações transformando em forma comum (simplificação) ou em decimais para não errar.
