Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia.
Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos.
De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?
A) 69
B) 70
C) 90
D) 104
E) 105
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Análise combinatória e princípio multiplicativo.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: C.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da questão:
O problema exige que formemos quatro duplas a partir de oito jogadores, considerando a restrição de que nenhuma dupla pode conter dois canhotos.
📌 Palavras-chave:
- Oito amigos
- Dois canhotos
- Nenhuma dupla pode ter dois canhotos
- Número de maneiras de formar as quatro duplas
📌 Objetivo da questão:
Determinar de quantas maneiras diferentes podemos formar quatro duplas respeitando a restrição sobre os canhotos.
⚠️ Dica Geral: Em problemas de formação de grupos com restrições, uma abordagem eficiente é fixar os elementos que possuem restrições primeiro e depois distribuir os demais.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
Conceito de Análise Combinatória
Quando agrupamos elementos de um conjunto sem levar em conta a ordem, utilizamos a combinação.
Fórmula da Combinação
A quantidade de formas de escolher k elementos de um grupo de n elementos é dada por:
✔ C(n, k) = n! / [(n – k)! × k!]
Princípio Multiplicativo
Quando temos eventos independentes, multiplicamos o número de maneiras de escolher cada etapa para obter o total de combinações.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
🔹 Temos 8 jogadores, sendo:
✔ 2 canhotos (A e B)
✔ 6 destros (C, D, E, F, G, H)
🔹 Queremos formar 4 duplas, mas sem permitir que dois canhotos fiquem juntos.
🔹 Como existem apenas dois canhotos, cada um deve obrigatoriamente formar uma dupla com um destro.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Passo 1: Escolher os parceiros dos canhotos
- O jogador A (canhoto) tem 6 opções de destros para formar uma dupla.
- O jogador B (canhoto) tem 5 opções restantes.
📌 Passo 2: Formar as duas duplas restantes entre os destros
Agora restam 4 destros para formar 2 duplas, o que pode ser feito da seguinte forma:
✔ Escolhemos 2 jogadores para a primeira dupla: C(4,2) = 6
✔ Os 2 jogadores restantes formarão a última dupla automaticamente.
📌 Passo 3: Ajustar a contagem para evitar repetições
Como a ordem das duplas não importa, devemos dividir por 2, pois cada dupla poderia ser formada de duas maneiras diferentes.
📌 Cálculo Final:
✔ 6 × 5 × 6 × 1 = 180
✔ Dividindo por 2 (para eliminar repetições):
✔ 180 dividido por 2 = 90
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
✅ Alternativa Correta: C) 90
✔ O total de maneiras de formar as duplas respeitando a restrição é 90.
❌ Alternativas Incorretas:
- A) 69: Número abaixo do esperado, erro no uso da fórmula combinatória.
- B) 70: Não corresponde ao resultado correto.
- D) 104: Acima do valor correto, erro de contagem excessiva.
- E) 105: Valor incorreto, provavelmente sem ajuste de duplicação.
⚠️ Dica Geral: Questões de agrupamento com restrições exigem a fixação de elementos restritos primeiro, garantindo que a contagem esteja correta.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Conclusão:
Para formar as quatro duplas sem que os canhotos fiquem juntos, utilizamos o princípio multiplicativo e a combinação de grupos. O número correto de maneiras de realizar essa formação é 90.
🔍 Resumo Final:
- Fixamos os canhotos e distribuímos os destros.
- Utilizamos a fórmula da combinação para os destros restantes.
- Ajustamos para evitar repetições.
- O resultado correto é 90 formas possíveis.
✅ Alternativa correta: C.
