Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia.
Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos.
De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?
A) 69
B) 70
C) 90
D) 104
E) 105
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Análise Combinatória: Combinações Simples e Princípio Fundamental da Contagem.
Tema/Objetivo Geral:
- Agrupamento de elementos em pares com restrições específicas (não formar pares com dois elementos iguais).
Nível da Questão: Médio.
- Embora os números sejam pequenos (8 amigos), a lógica de formar várias duplas ao mesmo tempo é perigosa. O aluno precisa perceber que a ordem das duplas não importa (Dupla A e Dupla B é o mesmo que Dupla B e Dupla A) e lidar com a proibição de juntar os canhotos.
Gabarito: C.
- Temos 2 Canhotos e 6 Destros.
- Os 2 canhotos devem ser separados. Cada um pega 1 destro.
- Escolha dos parceiros: O primeiro canhoto tem 6 opções. O segundo canhoto tem 5 opções.
- Sobram 4 destros para formar 2 duplas entre si. Isso pode ser feito de 3 maneiras.
- Cálculo: 6 x 5 x 3 = 90.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão pede para organizarmos 8 pessoas em 4 duplas para um torneio. A única regra é: os dois canhotos não podem jogar juntos na mesma dupla. Eles precisam ser separados.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que os dois canhotos são “imãs” que se repelem.
Temos 8 pessoas no total:
2 Canhotos (Imãs).
6 Destros (Neutros).
A missão é casar todo mundo, garantindo que cada “imã” fique com um “neutro”. Os neutros que sobrarem se casam entre si.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Separar os dois canhotos em duplas diferentes.
- Escolher parceiros destros para esses dois canhotos.
- Organizar os 4 destros que sobrarem em duas duplas.
- Multiplicar as possibilidades de cada etapa.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Combinação Simples:
Usada para formar grupos onde a ordem dentro do grupo não importa (João e Maria é a mesma dupla que Maria e João).
Atenção com a Ordem dos Grupos:
Se eu formo a “Dupla X” e depois a “Dupla Y”, é o mesmo cenário final que formar “Dupla Y” e depois “Dupla X”. Quando a ordem de formação dos grupos não importa, devemos dividir o resultado para não contar dobrado.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos construir as duplas passo a passo:
Etapa 1: Casando os Canhotos
Temos o Canhoto 1 e o Canhoto 2.
Eles precisam de parceiros destros. Temos 6 destros disponíveis.
- Para o Canhoto 1: Ele pode escolher qualquer um dos 6 destros. (6 opções).
- Para o Canhoto 2: Ele pode escolher qualquer um dos 5 destros restantes. (5 opções).
Até aqui: 6 x 5 = 30 maneiras de formar as duplas mistas.
Etapa 2: Casando os Destros Restantes
Sobraram 4 destros. Eles precisam formar 2 duplas entre si. Vamos ver quantas formas existem de fazer isso.
Vamos chamar os destros de A, B, C e D.
As combinações possíveis são:
- (A com B) e (C com D)
- (A com C) e (B com D)
- (A com D) e (B com C)
Existem apenas 3 maneiras de organizar 4 pessoas em 2 duplas.
(Nota matemática: Isso vem do cálculo de combinação C(4,2) dividido por 2, pois a ordem das duplas não importa. (6 / 2 = 3)).
Cálculo Final:
Total = (Maneiras de casar Canhotos) x (Maneiras de casar os Destros restantes)
Total = 30 x 3 = 90.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum é esquecer de dividir por 2 na formação das duplas de destros finais.
Se você calcular apenas “escolher 2 de 4”, vai achar 6 formas. Mas isso considera que a ordem das duplas importa (como se tivesse uma “Quadra Principal” e uma “Quadra Secundária”). Como no torneio as duplas são equivalentes, formar {João e José} depois {Pedro e Paulo} é igual a formar {Pedro e Paulo} depois {João e José}. Por isso, dividimos por 2 e achamos 3 formas, não 6.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: 6 opções para o primeiro canhoto, 5 para o segundo, e 3 maneiras de agrupar os 4 destros restantes.
- Expectativa: O valor 90.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 69
- O Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo.
- Cenário: Valor sem justificativa combinatória clara, provável erro aritmético.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- B) 70
- O Diagnóstico do Erro: Cálculo por Exclusão Errado.
- Cenário: O total de maneiras de formar 4 duplas com 8 pessoas (sem restrições) é 105. Se tirarmos os casos onde os canhotos estão juntos (15 casos), sobram 90. O aluno pode ter errado essa conta (105 – 35 = 70?).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- C) 90
- Análise de Correspondência: Perfeito. O cálculo direto (construção passo a passo) chega exatamente a 30 x 3 = 90.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- D) 104
- O Diagnóstico do Erro: Erro de arredondamento ou estimativa.
- Cenário: Valor muito próximo ao total geral (105), indicando que o aluno talvez tenha tentado subtrair apenas 1 caso.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- E) 105
- O Diagnóstico do Erro: Ignorar a Restrição.
- Cenário: Esse é o número total de maneiras de formar 4 duplas com 8 pessoas sem nenhuma regra. O aluno esqueceu que os canhotos não podem jogar juntos.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para organizar um torneio justo, a combinatória age como um organizador meticuloso: ao separarmos os canhotos à força e calcularmos as combinações dos destros, eliminamos as duplas proibidas e chegamos a exatas 90 configurações possíveis (Alternativa C).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
✋ Canhoto 1 escolhe entre 6 destros.
✋ Canhoto 2 escolhe entre 5 destros.
👥 4 Destros restantes formam 2 duplas (só tem 3 jeitos de fazer isso).
Total: 6 x 5 x 3 = 90.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com a Genética (Ligação Gênica):
Esse problema de “formar pares sem repetição” é muito parecido com o que acontece na genética. Imagine que “ser canhoto” é um gene que não pode aparecer em dose dupla (homozigose letal). A natureza elimina automaticamente as combinações onde os dois genes iguais se juntam, reduzindo a variabilidade da população, exatamente como reduzimos o número de duplas do torneio. A combinatória explica desde jogos de vôlei até a evolução das espécies!
