Um rapaz estuda em uma escola que fica longe de sua casa, e por isso precisa utilizar o transporte público.
Como é muito observador, todos os dias ele anota a hora exata (sem considerar os segundos) em que o ônibus
passa pelo ponto de espera. Também notou que nunca consegue chegar ao ponto de ônibus antes de 6 h 15 min
da manhã. Analisando os dados coletados durante o mês de fevereiro, o qual teve 21 dias letivos, ele concluiu que 6 h 21 min foi o que mais se repetiu, e que a mediana do conjunto de dados é 6 h 22 min.
A probabilidade de que, em algum dos dias letivos de fevereiro, esse rapaz tenha apanhado o ônibus antes de
6 h 21 min da manhã é, no máximo
A) 4/21
B) 5/21
C) 6/21
D) 7/21
E) 8/21
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Estatística (Medidas de Tendência Central: Moda e Mediana), Probabilidade e Lógica Matemática (Princípio da Casa dos Pombos).
Tema/Objetivo Geral:
Análise de um conjunto de dados ordenados para maximizar um subconjunto específico, respeitando restrições estatísticas.
Nível da Questão: Difícil.
- A questão exige mais do que aplicar fórmulas. Ela pede uma construção lógica (um “pior/melhor cenário”). O aluno precisa deduzir a distribuição dos números para satisfazer a condição de “Moda” sem violar a “Mediana”. O raciocínio do “Princípio da Casa dos Pombos” é necessário para eliminar a alternativa E.
Gabarito: Alternativa D.
- Para maximizar a chance de chegar antes das 6:21, precisamos minimizar a quantidade de vezes que o 6:21 aparece, mas ele ainda precisa ser o “vencedor” (Moda). O equilíbrio matemático ocorre com 7 dias antes do horário e 3 dias no horário de 6:21.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A questão quer saber qual é o número máximo de dias em que o rapaz chegou antes das 6:21, para depois transformar isso em probabilidade.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma fila indiana com 21 pessoas organizadas por ordem de chegada (do mais cedo para o mais tarde).
Sabemos quem está no meio da fila (a pessoa 11 chegou às 6:22).
Sabemos que o horário “6:21” é o mais famoso, o que mais aparece.
A pergunta é: Quantas pessoas no começo da fila podem ter chegado antes das 6:21, sem tirar a coroa de “mais famoso” do horário 6:21?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Montar o Esqueleto: Desenhar as 21 posições (dias) ordenadas.
- Fixar a Mediana: Travar o valor do dia 11.
- Acomodar a Moda: Determinar em quais posições o 6:21 deve entrar e qual a quantidade mínima de vezes que ele precisa aparecer para ser o “campeão”.
- Preencher o Vazio: Ver quantos espaços sobram para os dias “antes de 6:21”.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver esse quebra-cabeça, precisamos dominar a “anatomia” de uma lista estatística ordenada.
A Estrutura dos 21 Dias:
Como temos um número ímpar de dados (21), a Mediana é exatamente o termo central.
Posição da Mediana = (21 + 1) / 2 = 11ª posição.
Isso divide nosso mês em dois blocos:
- Bloco Inferior (Dias 1 ao 10): Aqui ficam os horários mais cedo.
- O Divisor (Dia 11): A Mediana.
- Bloco Superior (Dias 12 ao 21): Aqui ficam os horários mais tarde.
A Regra da Moda (O “Rei do Pedaço”):
A Moda é 6h21. Isso impõe duas regras absolutas:
- O valor 6h21 tem que aparecer na lista.
- A contagem do 6h21 tem que ser maior do que a contagem de qualquer outro horário individual. Se outro horário aparecer 2 vezes, o 6h21 tem que aparecer pelo menos 3.
O Intervalo Possível:
O rapaz nunca chega antes de 6h15.
Então os horários “Antes de 6h21” só podem ser:
6h15, 6h16, 6h17, 6h18, 6h19 e 6h20.
Temos apenas 6 opções de horários “cedo”.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos preencher as posições logica e sequencialmente.
1. Fixando a Mediana
O enunciado diz que a mediana é 6h22.
Posição 11 = 6h22.
Isso significa que do dia 11 para frente, todos chegaram 6h22 ou mais tarde.
Conclusão imediata: O horário 6h21 (e os anteriores) só podem estar nas posições 1 a 10.
2. A Luta pelo Espaço (Moda vs. Probabilidade)
Temos 10 cadeiras livres (Posições 1 a 10) para colocar os horários de 6h21 e os horários “Antes de 6h21”.
Queremos maximizar o “Antes”. Para isso, precisamos usar o mínimo possível de “6h21”.
Vamos testar os cenários para o 6h21:
- Cenário A: O 6h21 aparece apenas 1 vez.
Sobram 9 cadeiras para os horários cedo.
Como temos 6 tipos de horários cedo (15 a 20) e 9 cadeiras, algum horário cedo vai ter que se repetir (Princípio da Casa dos Pombos). Se algum horário cedo se repetir 2 vezes, ele ganha do 6h21 (que só tem 1). O 6h21 deixa de ser moda.
Impossível. - Cenário B: O 6h21 aparece 2 vezes.
Sobram 8 cadeiras para os horários cedo (10 cadeiras totais – 2 do 6h21).
Temos 6 opções de horário cedo (15, 16, 17, 18, 19, 20) para colocar em 8 cadeiras.
Matematicamente, não dá para colocar 8 itens em 6 categorias sem que alguma categoria tenha pelo menos 2 itens (8 dividido por 6 dá 1 com resto 2).
Ou seja, algum horário cedo vai aparecer 2 vezes.
Se o “6h15” aparecer 2 vezes e o “6h21” aparecer 2 vezes, temos um empate (bimodal). Mas o texto diz “6h21 foi O QUE MAIS se repetiu” (singular). Ele tem que ganhar sozinho.
Impossível. - Cenário C: O 6h21 aparece 3 vezes.
Sobram 7 cadeiras para os horários cedo.
Temos 6 opções de horário cedo. Podemos distribuir assim:
1x 6h15, 2x 6h16, 1x 6h17, 1x 6h18, 1x 6h19, 1x 6h20. (Total = 7 dias).
Quem repetiu mais entre os “cedo”? O 6h16 (2 vezes).
Quem é a moda? O 6h21 (3 vezes).
3 ganha de 2? Sim! O 6h21 continua sendo o Rei.
Possível!
3. O Cálculo Final
Nesse cenário ideal, conseguimos encaixar 7 dias com horários anteriores a 6h21.
Total de dias letivos = 21.
Probabilidade = 7 / 21.
Bússola (Síntese do Raciocínio):
Para o 6h21 ser a moda única, ele precisa aparecer pelo menos 3 vezes, pois os outros números vão inevitavelmente se repetir 2 vezes dada a falta de espaço. Isso deixa exatamente 7 vagas para os números menores.
Expectativa:
Procuramos a fração 7/21.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Alternativa A: 4/21
O “Diagnóstico do Erro”: Conservadorismo excessivo.
O aluno pode ter achado que o 6h21 precisava aparecer muitas vezes (ex: 6 vezes) para garantir a moda, sobrando pouco espaço para os outros. Não é o máximo possível.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa B: 5/21
O “Diagnóstico do Erro”: Erro de estimativa.
Similar à anterior, assume uma frequência para a moda maior do que a estritamente necessária.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa C: 6/21
O “Diagnóstico do Erro”: Falha na contagem.
O aluno pode ter esquecido de contar um dos dias disponíveis.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa D: 7/21
Análise de Correspondência:
Como deduzimos no Passo 3, se a moda (6h21) aparecer 3 vezes, ela vence qualquer repetição dos números menores (que no máximo aparecerão 2 vezes). Isso libera 7 espaços (dias 1 ao 7) para os horários anteriores.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
Alternativa E: 8/21
O “Diagnóstico do Erro”: Violação da Definição de Moda.
Se tivermos 8 dias antes de 6h21, sobram apenas 2 dias para o 6h21 (lembre que o dia 11 já é 6h22).
Se temos 8 dias “cedo” distribuídos em 6 opções de horário, pelo menos um horário cedo vai se repetir 2 vezes.
Se o 6h21 também aparecer 2 vezes, ele empata. Ele não seria “o que mais se repetiu”.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é 7/21. O segredo não era calcular médias, mas sim “brincar de cadeiras musicais” com os números para satisfazer a definição de Moda Única.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Para o Rei Moda reinar com o mínimo de esforço (3 votos), a oposição não pode passar de 2 votos. Sobram 7 lugares para o povo.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse problema utiliza o Princípio da Casa dos Pombos (ou Gavetas de Dirichlet).
O princípio diz: “Se você tem n gavetas e n+1 pombos, uma gaveta terá que ter dois pombos”.
Usamos isso para provar que com 8 dias e 6 horários, alguém repetiria, forçando a moda a ser maior. Esse princípio é fundamental na Ciência da Computação para análise de algoritmos e colisões de dados (Hash Tables).
