Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m.
Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
A) 1 000 m.
B) 1 000 √3 m.
C) 2 000 √3/3 m.
D) 2 000 m
E) 2 000 √3 m.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Trigonometria no Triângulo Retângulo (Seno, Cosseno, Tangente)
- Geometria Plana (Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo, Propriedades de Triângulos Isósceles)
- Ângulos Notáveis (30° e 60°)
Tema/Objetivo Geral: Aplicação de conceitos geométricos e trigonométricos para determinar a menor distância entre um ponto e uma reta.
Nível da Questão: Médio.
- Justificativa: A questão é considerada de nível médio porque sua solução mais elegante não é a mais óbvia. Ela exige a combinação de múltiplos conceitos: cálculo de ângulos internos, identificação de um triângulo isósceles (um “atalho” crucial) e, por fim, a aplicação da trigonometria em um triângulo retângulo. Apenas aplicar a trigonometria diretamente leva a um sistema de equações mais trabalhoso.
Gabarito: B) 1 000 √3 m.
- Esta alternativa está correta, pois representa a altura do triângulo PBC, calculada após descobrir que o triângulo APB é isósceles, o que nos fornece a medida da hipotenusa PB.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será”
1.2 O que está sendo pedido?
O enunciado quer saber a distância mais curta possível entre a linha reta da trajetória do barco e o ponto P. Em geometria, a menor distância de um ponto a uma reta é sempre o comprimento do segmento de reta perpendicular.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular a medida da “altura” do triângulo formado, que vai do ponto P até a linha da trajetória do barco, formando um ângulo de 90°.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a questão esconde uma propriedade geométrica muito útil no triângulo grande (APB)? Procurar por “atalhos” como esse pode economizar muito tempo!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos de algumas ferramentas:
- Menor Distância: Como dito, é a distância perpendicular. Imagine que você está em uma estrada reta (a trajetória do barco) e quer chegar a uma casa (ponto P) fora da estrada. O caminho mais curto não é na diagonal, mas sim andando em linha reta da estrada até a casa, formando um “L” perfeito (ângulo de 90°).
- Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo: Em qualquer triângulo, a soma de seus três ângulos internos é sempre 180°.
- Triângulo Isósceles: É um triângulo que possui dois ângulos da base iguais. A consequência direta disso é que os lados opostos a esses ângulos também são iguais.
- Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo (SOHCAHTOA):
- Seno (SOH): sen(ângulo) = Cateto Oposto / Hipotenusa
- Cosseno (CAH): cos(ângulo) = Cateto Adjacente / Hipotenusa
- Tangente (TOA): tan(ângulo) = Cateto Oposto / Cateto Adjacente
- Ângulos Notáveis: Precisamos saber os valores para 30° e 60°. O mais importante aqui será o sen(60°) = √3 / 2.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir: um barco navega em linha reta. O navegador olha para um ponto fixo P na praia e mede um ângulo de 30°. Ele continua navegando por 2000 metros e, ao olhar de novo para o mesmo ponto P, o ângulo dobrou para 60°. A pergunta é: qual é a distância perpendicular da trajetória do barco até o ponto P?
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano será mais esperto do que simplesmente montar um sistema de equações.
- Primeiro, vamos focar no triângulo grande, o ΔAPB, e usar os ângulos dados para descobrir todos os seus ângulos internos.
- Com os ângulos em mãos, vamos verificar se ele tem alguma propriedade especial (alerta de spoiler: ele é isósceles!).
- Usaremos essa propriedade para encontrar o comprimento de um lado que será útil.
- Finalmente, vamos desenhar a “menor distância” (a altura), criar um triângulo retângulo e usar a trigonometria para encontrar seu valor.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar a nossa estratégia.
-
Passo 1: Encontrar os ângulos do triângulo APB.
- O enunciado nos dá: ângulo em A (∠PAB) = α = 30°.
- O ângulo 2α = 60° é um ângulo externo ao triângulo APB. O ângulo interno correspondente, ∠PBA, está na mesma linha reta. Portanto:
- ∠PBA = 180° – 60° = 120°
- Agora, podemos achar o terceiro ângulo, ∠APB, usando a soma dos ângulos internos:
- ∠APB = 180° – (∠PAB + ∠PBA)
- ∠APB = 180° – (30° + 120°)
- ∠APB = 180° – 150° = 30°
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Passo 2: Identificar a propriedade do triângulo APB.
- Descobrimos que ∠PAB = 30° e ∠APB = 30°.
- Como o triângulo APB tem dois ângulos iguais, ele é um triângulo isósceles.
- Em um triângulo isósceles, os lados opostos aos ângulos iguais têm a mesma medida.
- O lado oposto ao ângulo ∠APB é o lado AB.
- O lado oposto ao ângulo ∠PAB é o lado PB.
- Portanto: PB = AB = 2000 m. Essa é a nossa descoberta-chave!
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Passo 3: Calcular a menor distância (a altura).
- Vamos chamar a menor distância de d. Ela é a altura do triângulo a partir de P até a reta da trajetória. Vamos chamar o pé dessa altura de C.
- Isso cria um novo triângulo, o ΔPBC, que é retângulo em C.
- Nesse triângulo, nós conhecemos:
- A hipotenusa PB = 2000 m.
- O ângulo ∠PBC = 60°.
- O que queremos encontrar é o cateto oposto ao ângulo de 60°, que é a distância d (o lado PC).
- A relação que usa cateto oposto e hipotenusa é o SENO.
- sen(60°) = Cateto Oposto / Hipotenusa
- sen(60°) = d / PB
- √3 / 2 = d / 2000
- Agora, isolamos o d:
- d = 2000 * (√3 / 2)
- d = 1000√3 m
4.2 Verificação Intermediária
A análise geométrica nos mostrou que PB = 2000 m. Usando esse valor como hipotenusa no triângulo retângulo PBC, a trigonometria nos deu a altura (menor distância) de 1000√3 m.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum é não perceber que o triângulo APB é isósceles. Sem essa percepção, o aluno geralmente tenta resolver o problema criando dois triângulos retângulos e montando um sistema de equações com a tangente, o que é muito mais longo e suscetível a erros de cálculo. Descobrir a propriedade do triângulo isósceles é o “pulo do gato” que simplifica tudo.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo, utilizando uma abordagem geométrica inteligente, nos levou ao resultado de 1000√3 m. Esperamos encontrar exatamente este valor nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 1 000 m
B) 1 000 √3 m
C) 2 000 √3/3 m
D) 2 000 m
E) 2 000 √3 m
5.2 Justificativa Individual
- A) 1 000 m (🔴) Errada. Este seria o resultado se usássemos o seno de 30° (que é 1/2) em vez do seno de 60°.
- B) 1 000 √3 m (🟢) Correta. Este valor corresponde exatamente ao nosso cálculo (2000 * sen(60°)).
- C) 2 000 √3/3 m (🔴) Errada. Este valor (2000 * tan(30°)) não corresponde a nenhuma medida relevante calculada de forma direta no problema. É um distrator comum que mistura os valores.
- D) 2 000 m (🔴) Errada. Este é o valor da distância percorrida pelo barco (AB) e também do lado PB. É um dado do problema, não a resposta para a “menor distância”.
- E) 2 000 √3 m (🔴) Errada. Este valor seria o resultado se o cosseno de 30° (√3/2) fosse usado ou se o cálculo 2000 * sen(60°) fosse feito de forma incorreta, esquecendo a divisão por 2.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi obtida em duas etapas principais: primeiro, analisamos os ângulos do triângulo geral APB para descobrir que ele era isósceles, o que nos deu a medida do lado PB. Em seguida, usamos essa medida como hipotenusa em um triângulo retângulo auxiliar (PBC) para calcular a altura (menor distância) com a função seno.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B) 1 000 √3 m.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de trigonometria com múltiplos triângulos, sempre investigue os ângulos primeiro. Muitas vezes, uma propriedade geométrica oculta, como um triângulo isósceles, pode transformar um problema complexo em um cálculo simples.
