Uma pessoa tinha um projeto para um salão de festas no formato de paralelepípedo reto retângulo. Ela comprou a quantidade exata de azulejos para cobrir as paredes laterais, incluindo as regiões destinadas a uma porta e uma janela. Os azulejos que cobririam essas regiões seriam reservados para futuras substituições. Esse projeto previa que o salão teria, como dimensões internas, 10 m de comprimento por 6 m de largura por 2,5 m de altura.
Em decorrência de uma mudança no projeto, o salão ficará com 12 m de comprimento por 5 m de largura e as mesmas dimensões para porta e janela. Como a compra de azulejos já foi feita, essa pessoa ajustará a altura do salão de modo que a área lateral, incluindo as regiões da porta e da janela, seja equivalente à área lateral antes da alteração do projeto.
Qual é a medida, em metro, dessa nova altura, expressa com duas casas decimais?
a) 3,25
b) 3,00
c) 2,50
d) 2,35
e) 2,00
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Geometria Espacial, Geometria Plana/Áreas e Álgebra Básica).
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de área lateral de um paralelepípedo reto retângulo e aplicação de equação de equilíbrio para ajuste dimensional.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige que o candidato saiba transpor um problema prático de construção civil para a linguagem geométrica.
- O maior desafio é perceber que a área lateral é o produto do perímetro da base pela altura. Um erro no cálculo do perímetro ou na interpretação de quais faces compõem a “área lateral” invalida toda a resolução.
Gabarito: Alternativa D.
- A área lateral original é de 80 m². Com a mudança da base para 12 m por 5 m, o novo perímetro passa a ser 34 m. Para manter os mesmos 80 m² de azulejos, a nova altura deve ser o resultado de 80 dividido por 34, que resulta em aproximadamente 2,35 metros.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é recalcular a altura do salão de festas para que a quantidade de azulejos comprada (área das paredes) seja exatamente a mesma, mesmo após o formato do chão ter mudado.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você tem uma fita adesiva muito larga (a área lateral das paredes) que dá a volta exata em uma caixa de sapatos. Se você trocar a caixa por uma que é mais comprida e mais estreita, você precisará cortar a “altura” dessa fita para que o comprimento total dela ainda consiga dar a volta completa na nova caixa. O verdadeiro desafio aqui é: equilibrar a altura para compensar a mudança no contorno da base.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Calcular o “Estoque de Azulejos”: Descobrir a área lateral total do primeiro projeto.
- Mapear a Nova Base: Calcular o perímetro (contorno) do novo formato do salão.
- Ajustar a Altura: Montar uma equação onde o novo contorno multiplicado pela nova altura resulte na mesma área de antes.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta análise, utilizaremos um Dossiê de Investigação: A Geometria do Revestimento. Esta ferramenta foca na relação entre o contorno da base e a superfície das paredes.
DOSSIÊ TÉCNICO: ANATOMIA DA ÁREA LATERAL
- O Conceito de Área Lateral (Al): Em um paralelepípedo, a área lateral é a soma das áreas das quatro paredes.
- A Regra do Perímetro: Uma forma inteligente de calcular a área lateral é: Perímetro da Base (2p) multiplicado pela Altura (h).
- Fórmula: Al = 2 * (Comprimento + Largura) * Altura.
- O Princípio da Conservação de Área: Como a compra de azulejos já foi feita e é “exata”, a Área 1 deve ser rigorosamente igual à Área 2.
- Variáveis do Caso:
- Projeto A: Comprimento = 10, Largura = 6, Altura = 2,5.
- Projeto B: Comprimento = 12, Largura = 5, Altura = x.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos agora executar a nossa investigação matemática, comparando os dois cenários como um perito em obras.
1. Calculando a Área do Primeiro Projeto (O Estoque):
Primeiro, achamos o contorno (perímetro) da base original:
10 + 6 + 10 + 6 = 32 metros.
Agora, multiplicamos esse contorno pela altura original (2,5 m):
32 * 2,5 = 80 metros quadrados.
Veredito: A pessoa comprou azulejos para cobrir exatamente 80 metros quadrados de parede.
2. Analisando o Novo Contorno:
O novo salão tem 12 m de comprimento e 5 m de largura. Vamos ver o novo perímetro:
12 + 5 + 12 + 5 = 34 metros.
Note que o salão ficou “mais comprido” no contorno (passou de 32 para 34 metros).
3. Encontrando a Nova Altura (O Ajuste):
Para manter os mesmos 80 metros quadrados com um contorno maior (34 m), a altura (h) precisa diminuir.
34 * h = 80
h = 80 / 34
4. O Resultado Final:
Dividindo 80 por 34:
80 ÷ 34 ≈ 2,3529…
Arredondando para duas casas decimais conforme pedido: 2,35 metros.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é o aluno tentar igualar o Volume do salão em vez da Área Lateral. Se você fizer 10 * 6 * 2,5 = 150 e depois tentar achar a altura fazendo 12 * 5 * h = 150, você encontrará h = 2,50 (Alternativa C). Lembre-se: o enunciado é claro ao dizer que o que deve ser equivalente é a Área Lateral (azulejos das paredes), e não a capacidade de ar dentro do salão!
Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A área de 80 metros quadrados deve ser distribuída em um novo perímetro de 34 metros. A divisão 80/34 nos dá a nova altura necessária.
- Expectativa: O valor deve ser um pouco menor que a altura original (já que o perímetro aumentou), apontando para 2,35.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 3,25
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter invertido as razões ou errado gravemente a divisão, achando que a altura precisava aumentar quase um metro.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Processamento de Dados.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 3,00
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter arredondado valores de perímetro de forma incorreta ou tentado uma proporção simples sem calcular a área real.
- Diagnóstico do Erro: Estimativa Imprecisa.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 2,50
- A Narrativa do Erro: Este é o erro de quem ignora a mudança no projeto ou, como vimos na Armadilha, tenta igualar os volumes em vez das áreas das paredes.
- Diagnóstico do Erro: Confundir o Meio com o Fim (Igualou volumes, não áreas).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 2,35
- Análise de Correspondência: Este valor é o resultado exato da nossa investigação. Ao dividir a área total de azulejos (80) pelo novo perímetro (34), obtemos 2,35. É a única altura que gasta exatamente o material comprado.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
E) 2,00
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter subtraído a diferença de perímetros da altura original ou cometido erro na divisão por 34.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo Aritmético.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A investigação foi encerrada com a vitória da Alternativa D. Aprendemos que, na arquitetura, pequenas mudanças no chão exigem ajustes precisos no teto para não sobrar nem faltar material.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Área de 80 metros quadrados dividida pelo novo contorno de 34 metros resulta em 2,35 de altura.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este conceito de manter a área superficial mudando as dimensões é vital no Design de Embalagens. Empresas de alimentos, como fabricantes de cereais, muitas vezes mudam o formato da caixa (deixando-a mais larga ou mais fina) para dar a impressão de que o produto é maior, mas mantêm a mesma área de papelão para não aumentar o custo de produção. A matemática que você usou para azulejar o salão é a mesma que grandes indústrias usam para economizar milhões em embalagens ao redor do mundo!
