Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.
O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.
Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em
A) 8π.
B) 12π.
C) 16π.
D) 32π.
E) 64π.
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Geometria Plana (Círculos e Tangências)
Nível da Questão: Médio (ENEM 2015)
✅ Gabarito: A) 8π
🎯 Tema/Objetivo Geral: Determinar o acréscimo na área de cobertura ao trocar duas antenas de raio 2 km por uma nova de raio ajustado para tangenciar externamente as antigas.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Retomar o Comando
📌 “Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura … foi ampliada em ____?”
1.2 O que está sendo pedido?
📌 Calcular a diferença entre a área do novo círculo de cobertura e a soma das áreas dos dois círculos antigos.
1.3 Objetivo Cristalino
📌
- Encontrar a área total antiga: 2 círculos de raio 2 km.
- Determinar o raio do novo círculo (centro em O, tangencia externa aos antigos).
- Calcular a área nova e subtrair a antiga.
1.4 Palavras-Chave
📌 “raio 2 km”, “circunferências tangenciam em O”, “nova antena tangencia externamente”
1.5 ✔ Pergunta de Atenção
Você se recorda que, em tangência externa, a distância entre centros = diferença de raios? Aqui o centro do novo círculo está em O, que é ponto de tangência, logo o raio novo = raio antigo + distância(O, centro antigo) = 2 + 2 = 4 km.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
- 📌 Área de um círculo: A = π · R², onde R é o raio.
- 📌 Tangência externa (centro do novo círculo em O):
- Centro do círculo antigo está a 2 km de O.
- Para tocar externamente, R_novo − 2 = 2 ⇒ R_novo = 4 km.
❓ Dúvida Comum
“Por que somar raios em vez de subtrair?”
✔ Porque a nova antena envolve o círculo antigo por fora; a circunferência maior “abraça” a menor, ficando fora dela.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Raciocínio
- Antigos: dois círculos de raio 2 km.
- Novo: um círculo de raio 4 km (centro em O, tangencia externa).
- Calcular:
- Área antiga total = 2 × área(raio 2)
- Área nova = área(raio 4)
- Acréscimo = Área nova − Área antiga total
Passo 4: Cálculos Detalhados
- Área de um círculo antigo
A₁ = π · 2² = π · 4 = 4π - Área total antiga (duas antenas)
A_antiga = 2 × 4π = 8π - Área do novo círculo
A_nova = π · 4² = π · 16 = 16π - Diferença (acréscimo)
ΔA = A_nova − A_antiga = 16π − 8π = 8π
Passo 5: Análise das Alternativas
A) 8π
- Corresponde exatamente ao cálculo 16π − 8π. ✅
B) 12π
- Seria se o novo raio fosse ≈√( (8π+8π)/π ) = √16, mas não é o caso. ❌
C) 16π
- Equivale apenas à área nova, sem subtrair a antiga. ❌
D) 32π
- Dobro de 16π, incorreto. ❌
E) 64π
- Área de um círculo de raio 8 km, longe da configuração. ❌
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
📌 Dois círculos de raio 2 km (área 8π) são substituídos por um de raio 4 km (área 16π), ampliando em 16π − 8π = 8π.
6.2 Alternativa Correta
✅ A) 8π
6.3 🔍 Resumo Final
Em coberturas circulares tangentes em um ponto, o novo raio é a soma dos raios antigos. A diferença de áreas segue π(R² − r²), aqui π(16 − 8) = 8π.
