Um artista deseja pintar em um quadro uma figura na forma de triângulo equilátero ABC de lado 1 metro. Com o objetivo de dar um efeito diferente em sua obra, o artista traça segmentos que unem os pontos médios D, E e F dos lados BC, AC e AB, respectivamente, colorindo um dos quatro triângulos menores, como mostra a figura.
Qual é a medida da área pintada, em metros quadrados, do triângulo DEF?
A) 1/16
B) √3/16
C) 1/8
D) √3/8
E) √3/4
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria, semelhança de triângulos, fórmula da área, propriedades dos equiláteros.
📔 Nível da Questão:
- Intermediário com interpretação geométrica — exige visualização da subdivisão interna do triângulo e domínio de fórmulas da área.
✅ Gabarito:
- B
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Geometria Plana — Triângulo Equilátero, ponto médio, e cálculo de área.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando Essencial (citação literal)
“Qual é a medida da área pintada, em metros quadrados, do triângulo DEF?”
🎯 O que está sendo pedido?
A área do triângulo central DEF, formado pelos pontos médios dos lados do triângulo ABC.
🎯 Objetivo Cristalino
Calcular corretamente a área de DEF, sabendo que ele está dentro de um triângulo equilátero de lado 1 metro e foi construído a partir dos pontos médios.
💡 Dica Geral
Quando ligamos os pontos médios dos lados de um triângulo, formamos 4 triângulos congruentes, e o triângulo central (DEF) é semelhante ao original, mas com lado metade do original.
💬 Dúvida Comum
Muitos acham que, ao reduzir o lado pela metade, a área também cai pela metade — mas na verdade a área cai para 1/4 (pois depende do quadrado do lado!).
✔ Pergunta de Atenção
Você lembra da fórmula da área do triângulo equilátero? E sabe como a área muda quando o lado é dividido pela metade?
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🔷 Área do triângulo equilátero (fórmula direta)
Se o lado é L, então:
Área = (L²·√3)/4
Exemplo: Se L=1L = 1L=1, então
A=(12⋅√3)/4=√3/4A = (1²·√3)/4 = √3/4A=(12⋅√3)/4=√3/4
🔷 Quando reduzimos o lado à metade:
Se um novo triângulo tem lado = L/2, então:
Nova área = ((L/2)²·√3)/4 = (L²/4·√3)/4 = (L²·√3)/16
Ou seja: área = 1/4 da anterior
🔷 Outra forma: usando base × altura
Área de qualquer triângulo:
A = (base × altura)/2
- Em triângulo equilátero, a altura pode ser calculada com Pitágoras:
Se o lado é L=1L = 1L=1, então:
- Dividindo ao meio, cada base do triângulo retângulo é 0,5
- Hipotenusa = 1
- Altura h é:
h² + (0,5)² = 1² → h² = 1 – 0,25 → h² = 0,75 → h = √3/2
Então:
A = (1 × √3/2)/2 = √3/4
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação de Texto
- O triângulo ABC é equilátero com lado 1 m
- Os pontos D, E e F são pontos médios dos lados BC, AC e AB
- Isso forma 4 triângulos pequenos dentro do triângulo grande
📌 O triângulo pintado (DEF) é o triângulo central, também equilátero, e com lado 1/2nção.
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
✅ Forma 1 – Usando a fórmula direta
Triângulo DEF tem lado 1/2
Então sua área é:
A = ((1/2)²·√3)/4 = (1/4·√3)/4 = √3/16
✅ Forma 2 – Usando base × altura
- Lado do triângulo DEF = 1/2
- Altura do triângulo de lado 1/2:
Usando Pitágoras:
- h² + (0,25)² = (0,5)²
→ h² = 0,25 – 0,0625 = 0,1875
→ h = √0,1875 = √(3/16) = √3/4
Agora:
A = (base × altura)/2 = (0,5 × √3/4)/2 = (√3/8)/2 = √3/16
✅ Mesmo resultado!
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas
A) 1/16 ❌
→ Não tem raiz de 3. Errado.
B) √3/16 ✅
→ Certo! Coincide com os dois métodos.
C) 1/8 ❌
→ Valor real ≈ 0,216, mas √3/16 ≈ 0,108
D) √3/8 ❌
→ Muito maior. É o dobro do correto.
E) √3/4 ❌
→ Área do triângulo grande ABC!
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 O triângulo DEF é equilátero com lado 1/2 metro. Usando a fórmula da área do triângulo equilátero ou altura via Pitágoras, a área é:
A = √3/16 m²
✅ Alternativa correta: Letra B
