No projeto de arborização de uma praça está prevista a construção de um canteiro circular. Esse canteiro será constituído de uma área central e de uma faixa circular ao seu redor, conforme ilustra a figura.
Deseja-se que a área central seja igual à área da faixa circular sombreada.
A relação entre os raios do canteiro (R) e da área central (r) deverá ser
Resolução em Texto
📌 🧮 Tema Geral:
🔹Geometria Plana – Áreas de Coroas Circulares (Diferença de Áreas de Circunferências)
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Geometria: Área da circunferência
- Diferença de áreas (área da coroa circular)
- Equações algébricas com radiciação
🔢 Nível da Questão
🔸 Médio, exige boa interpretação de figura geométrica e manipulação algébrica.
✅ Gabarito
- Letra B — R = r·√2
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Trecho-chave:
“Deseja-se que a área central seja igual à área da faixa circular sombreada.”
🎯 Objetivo:
Encontrar a relação entre os raios R (canteiro total) e r (área central) de forma que a área do anel (faixa circular sombreada) seja igual à área da região central.
👉 O que ele quer saber?
Qual deve ser a relação entre R e r para que a área do anel (R² – r²) seja igual à área central (r²).
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
📌 1. Área da circunferência:
Fórmula básica:
A = π·r²
📌 2. Área da faixa circular sombreada (coroa circular):
É a diferença entre a área da circunferência maior e a menor:
A_faixa = π·R² − π·r²
📌 3. Condição do problema:
Deseja-se que:
Área da faixa = Área do centro
Ou seja:
π·R² − π·r² = π·r²ângulos são iguais.
🧷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Pelo enunciado:
- Área da faixa circular = área da parte central
→ Traduzimos isso para a equação:
π·R² − π·r² = π·r²
Agora vamos desenvolver essa equação para descobrir a relação entre R e r.
🧮 Passo 4 – Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
Partimos de:
π·R² − π·r² = π·r²
✂️ Podemos cortar o π dos dois lados:
R² − r² = r²
R² = r² + r²
R² = 2r²
Aplicando a raiz quadrada em ambos os lados:
R = √(2r²)
R = r·√2
✅ Esta é a relação pedida.
🧩 Passo 5 – Análise das Alternativas
A) R= 2r❌
→ Implicaria que área maior seria 4 vezes a área menor, o que não satisfaz a condição.
B) R= r·√2 ✅
→ É exatamente o que encontramos.
✔️ Correta.
C) R= r²+2r/2 ❌
→ Forma algébrica que não representa nenhuma propriedade de área nesse caso.
D) R= r²+2r❌
→ Mesma observação anterior. Incompatível dimensionalmente.
E) R= 3/2r ❌
→ Aproximação incorreta: 3/2 ≈ 1,5, mas √2 ≈ 1,414
→ Não satisfaz a igualdade entre as áreas.
🎯Passo 6: Conclusão e justificativa final
Ao aplicar corretamente a fórmula da área da coroa circular e impor que essa área fosse igual à da parte central, chegamos a uma equação simples que leva à relação:
- R = r·√2
✅ Portanto, a alternativa correta é a letra B.
