Questão 153 caderno azul ENEM 2012 Dia 2

O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.

Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B.

A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada por

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão

• Geometria Espacial (Esfera e Círculo Máximo)
• Geometria Descritiva (Projeção Ortogonal)
• Visualização Espacial

🎯 Tema/Objetivo Geral: Projeção Ortogonal de uma Forma Geométrica no Plano

🎯 Nível da Questão: Médio – A questão é considerada de nível médio porque exige uma habilidade de visualização espacial bem desenvolvida. O aluno precisa “ver” a cena tridimensional descrita, imaginar a trajetória vertical do motoqueiro e, em seguida, executar mentalmente a projeção dessa trajetória em um plano (o chão), como se estivesse olhando de cima. Não é um cálculo, mas um exercício de raciocínio geométrico abstrato.

✅ Gabarito: E. A alternativa está correta pois a trajetória do motoqueiro é uma circunferência vertical. Ao projetar essa trajetória no plano horizontal do chão, como se estivéssemos olhando de cima, a “sombra” resultante seria uma linha reta, correspondente ao diâmetro dessa circunferência.

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Transcrição Essencial 📌
“A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada por”

O que está sendo pedido?📌
A questão nos pede para imaginar qual seria a “sombra” ou a projeção no chão da trajetória percorrida pelo motoqueiro. O ponto de vista para essa “sombra” é de cima, como se uma luz estivesse no topo da esfera (ponto B) iluminando o trajeto para o chão.

Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é determinar a forma geométrica da projeção ortogonal de uma circunferência vertical sobre um plano horizontal.

Pergunta de Atenção ✔
Imagine que você está olhando de cima para uma roda gigante girando. Qual é a forma da “sombra” que ela faz no chão? Ou, mais simples, se você olhar uma moeda de lado, o que você vê? A resposta para essas perguntas é a mesma da questão!

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

Explicação de termos📌
Para resolver este problema, precisamos entender os seguintes conceitos geométricos:

• Esfera e Círculo Máximo (ou Círculo Grande):
  • Esfera: É um objeto tridimensional perfeitamente redondo, como uma bola.
  • Círculo Máximo: É o maior círculo que pode ser desenhado na superfície de uma esfera. Seu centro coincide com o centro da esfera. Os meridianos e a linha do Equador são exemplos de círculos máximos na Terra.
  • No Problema: A trajetória do motoqueiro, que passa pelos pontos A e B (polos da esfera), é um círculo máximo vertical.

• Projeção Ortogonal:
  • Explicação: É o processo de “achatar” um objeto tridimensional em um plano bidimensional. Imagine que raios de luz perpendiculares ao plano atingem o objeto e projetam sua sombra nesse plano.
  • Exemplo do cotidiano: Um mapa-múndi é uma projeção da esfera terrestre em um plano de papel. A vista de cima de uma planta baixa de uma casa é uma projeção ortogonal da casa no plano do chão.

• Projeção de uma Circunferência:
  • Explicação: A forma da projeção de uma circunferência depende do ângulo entre o plano da circunferência e o plano de projeção.
    • Se os planos são paralelos (ex: olhar o tampo de uma mesa redonda de cima), a projeção é uma circunferência idêntica.
    • Se os planos são oblíquos (ex: olhar o tampo da mesa inclinado), a projeção é uma elipse.
    • Se os planos são perpendiculares (ex: olhar o tampo da mesa exatamente de lado), a projeção é um segmento de reta.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

Contextualização Simplificada 📌
A questão nos pede para imaginar a seguinte cena:

1. Um motoqueiro está fazendo um “looping” dentro do globo da morte, em uma trajetória perfeitamente vertical (sobe até o topo no ponto B, desce até o chão no ponto A, e repete).
2. Nós estamos olhando essa cena de um helicóptero, exatamente em cima do globo.
   A pergunta é: o que nós, do helicóptero, vemos o motoqueiro “desenhar” no chão? Qual é o rastro dele visto de cima?

Estratégia Geral 📌
A estratégia é uma visualização geométrica em três passos:

1. Visualizar em 3D a trajetória do motoqueiro: um círculo em pé.
2. Visualizar em 3D o plano de projeção: o chão, que é um plano deitado.
3. Executar a projeção: “achatar” o círculo em pé sobre o plano deitado, imaginando como seus pontos seriam vistos de cima.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

Passo a Passo Detalhado 📌

1. Definindo a Trajetória: O motoqueiro percorre “uma circunferência que passa pelos pontos A e B”. Como A é o ponto mais baixo (no chão) e B é o ponto mais alto, e o segmento AB é perpendicular ao chão, a trajetória do motoqueiro é um círculo contido em um plano vertical. Pense nisso como uma roda-gigante.
2. Definindo o Plano de Projeção: A questão pede a imagem “no plano do chão”. Este é um plano horizontal.
3. Relacionando os Planos: O plano da trajetória do motoqueiro (vertical) e o plano de projeção (horizontal) são perpendiculares um ao outro.
4. Executando a Projeção:
   • Imagine o motoqueiro no ponto A (no chão). Visto de cima, ele está em um ponto no chão.
   • Imagine o motoqueiro subindo pela lateral do globo. Visto de cima, ele parece estar se movendo em linha reta, afastando-se do centro.
   • Imagine o motoqueiro no ponto B (o topo). Visto de cima, ele está exatamente sobre o centro do globo no chão.
   • Imagine o motoqueiro descendo pelo outro lado. Visto de cima, ele parece estar se movendo em linha reta, de volta ao ponto A.
   • Ao completar a volta, a “sombra” de todo o seu percurso no chão será a linha que liga os pontos extremos de sua trajetória, que corresponde ao diâmetro do círculo vertical.
   • Portanto, a projeção de um círculo vertical em um plano horizontal é um segmento de reta.

Verificação Intermediária 📌
A analogia da moeda ajuda a confirmar. Se você segura uma moeda de pé sobre uma mesa e olha exatamente de cima, a moeda se parece com uma linha fina. O mesmo acontece com a trajetória do motoqueiro.

Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é a alternativa C (a elipse). A projeção de um círculo geralmente é uma elipse, mas isso só acontece quando os planos são oblíquos (inclinados). Como o enunciado especifica uma trajetória perfeitamente vertical (perpendicular ao chão), estamos no caso especial em que a projeção se degenera em uma linha reta. Outra armadilha é a A (círculo), que seria a projeção de uma trajetória horizontal (como andar na linha do Equador do globo).

Fechamento e expectativa
Concluímos que a imagem projetada no chão é um segmento de reta. Vamos agora procurar a alternativa que representa essa forma.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

Listagem das Alternativas
A) Uma circunferência.
B) Um arco de circunferência.
C) Uma elipse.
D) Um círculo preenchido.
E) Um segmento de reta.

Justificativa Individual

• 🔴 A) Uma circunferência: Incorreta. Seria a projeção se o motoqueiro andasse em um círculo horizontal.
• 🔴 B) Um arco de circunferência: Incorreta. Não há razão para a projeção ser apenas um pedaço de uma curva.
• 🔴 C) Uma elipse: Incorreta. Seria a projeção se a trajetória do motoqueiro fosse um círculo inclinado em relação ao chão.
• 🔴 D) Um círculo preenchido: Incorreta. Isso representaria a projeção de toda a esfera (a “sombra” do globo inteiro), não da trajetória do motoqueiro.
• 🟢 E) Um segmento de reta: Correta. É a projeção ortogonal de uma circunferência quando o plano que a contém é perpendicular ao plano de projeção.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

Resumo do Raciocínio 📌
A trajetória do motoqueiro é um círculo vertical. A projeção dessa trajetória no plano horizontal do chão é solicitada. Como o plano da trajetória é perpendicular ao plano de projeção, a “sombra” resultante é um segmento de reta, correspondente ao diâmetro do círculo percorrido.

Gabarito Reafirmado 📌
A alternativa correta é a E).

Resumo Final para Revisão 🔍
Para fixar: Olhar um círculo “de lado” sempre o transforma em uma linha reta. Este é o princípio fundamental da projeção ortogonal de um círculo em um plano perpendicular.