A unidade de medida utilizada para anunciar o tamanho das telas de televisores no Brasil é a polegada, que corresponde a 2,54 cm. Diferentemente do que muitos imaginam, dizer que a tela de uma TV tem X polegadas significa que a diagonal do retângulo que representa sua tela mede X polegadas, conforme ilustração.
O administrador de um museu recebeu uma TV convencional de 20 polegadas, que tem como razão do comprimento (C) pela altura (A) a proporção 4 : 3, e precisa calcular o comprimento (C) dessa TV a fim de colocá-la em uma estante para exposição.
A tela dessa TV tem medida do comprimento C, em centímetro, igual a:
A) 12,00.
B) 16,00.
C) 30,48.
D) 40,64.
E) 50,80.
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Plana (Teorema de Pitágoras), Razões e Proporções, Conversão de Unidades
📝 Tema/Objetivo Geral: Aplicar o Teorema de Pitágoras e a razão entre lados de um retângulo para determinar medidas reais a partir da diagonal de uma TV.
📊 Nível da Questão: Médio
🎯 Gabarito: D
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O enunciado informa que a medida de uma TV de 20 polegadas refere-se à diagonal do retângulo que representa a tela. Também afirma que a razão entre o comprimento (C) e a altura (A) da tela é 4 : 3.
O objetivo é calcular o comprimento C em centímetros, sabendo que 1 polegada = 2,54 cm. Devemos aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar C e depois converter de polegadas para centímetros.
📌 Palavras-chave: diagonal de 20 polegadas, razão 4 : 3, comprimento C, conversão para centímetro.
Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Quando a tela de uma TV é descrita com uma medida em polegadas, ela se refere à diagonal do retângulo que representa a tela.
- A relação entre os lados (altura e comprimento) é dada pela razão C : A = 4 : 3, que pode ser escrita como:
C = (4 × A) / 3
- Para encontrar a diagonal (x), usamos o Teorema de Pitágoras:
x² = A² + C²
- Como a unidade final deve ser em centímetros, usamos a conversão:
1 polegada = 2,54 cm
Agora que entendemos os conceitos, vamos interpretar e traduzir os dados para linguagem matemática.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Sabemos que:
- Diagonal x = 20 polegadas
- Proporção: C = 4A / 3
📌 Vamos substituir essa expressão de C na fórmula de Pitágoras:
20² = A² + (4A / 3)²
Objetivo: Resolver essa equação para encontrar o valor de C, depois converter para centímetros.
Agora que interpretamos o texto, vamos resolver os cálculos.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- Começamos substituindo na equação de Pitágoras:
20² = A² + (4A / 3)²
- Calculando os termos:
400 = A² + 16A² / 9
- Colocando os dois termos no mesmo denominador:
400 = (9A² + 16A²) / 9 = 25A² / 9
- Multiplicando ambos os lados por 9:
3600 = 25A²
- Dividindo por 25:
A² = 144
- Extraindo a raiz quadrada:
A = 12 polegadas
- Calculando C:
C = 4 × 12 / 3 = 16 polegadas
- Convertendo para centímetros:
C = 16 × 2,54 = 40,64 cm
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) 12,00 ❌
B) 16,00 ❌
C) 30,48 ❌
D) 40,64 ✅
E) 50,80 ❌
✅ A alternativa correta é D, pois o comprimento em centímetros da tela da TV é 40,64 cm.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 A questão envolveu a aplicação do Teorema de Pitágoras, com base na razão 4 : 3 entre os lados do retângulo, para encontrar o valor da base (comprimento) de uma tela de TV de 20 polegadas. Após resolver a equação e converter o valor encontrado para centímetros, obtivemos que C = 40,64 cm.
🔍 Resumo Final: A tela da TV possui proporção 4 : 3 e diagonal de 20 polegadas. Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos C = 16 polegadas, que convertido para centímetros resulta em 40,64 cm, confirmando a alternativa D como correta.
