Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:
I — é a circunferência de equação x2 + y2 = 9;
II — é a parábola de equação y = − x2 − 1, com x variando de −1 a 1;
III — é o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1, 2) e (−2, 2);
IV — é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);
V — é o ponto (0, 0).
A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura.
Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?
🧠 Tema Geral: Geometria Analítica – Interpretação de Gráficos no Plano Cartesiano
📚 Matérias Necessárias:
- Geometria Analítica (circunferência, parábola e coordenadas)
- Interpretação Gráfica
- Identificação de figuras geométricas planas
📈 Nível da Questão:
Médio, pois exige múltiplas leituras: interpretação de equações, visualização de gráficos e correspondência com figuras. A dificuldade está em coordenar todos os conjuntos algébricos sobrepostos com precisão.
✔️ GABARITO: Alternativa E
✅ PASSO 1 — Análise do Comando e Objetivo
📌 Comando Essencial:
“Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?”
📌 O que está sendo pedido?
Identificar, entre as figuras dadas (A a E), qual representa corretamente a sobreposição de 5 conjuntos algébricos descritos no enunciado sobre um plano cartesiano.
📌 Objetivo Cristalino:
Visualizar cada conjunto no plano e verificar em qual figura todos os elementos (circunferência, parábola, quadrados e ponto) aparecem corretamente posicionados.
📌 Dica:
Desenhar no rascunho cada conjunto com calma e comparar com as opções. Especial atenção à forma da parábola e aos vértices dos quadrados.
💬 Possíveis Armadilhas:
“Como saber onde está o quadrado ou a parábola se só tenho os vértices ou a equação?”
🔎 → A chave está em saber plotar os pontos e ler as formas com base nas equações.
✔ Pergunta de Atenção:
Você consegue visualizar como cada equação se transforma em uma figura no gráfico?
✅ PASSO 2 — Explicação de Conceitos e conteúdos Necessários
Vamos revisar o que representa cada tipo de equação e conjunto citado:
📌 1. Circunferência:
Equação:
x² + y² = r²
Se não houver termos com x ou y isolados, o centro está na origem.
Exemplo:
x² + y² = 9 → centro (0,0) e raio √9 = 3
📌 2. Parábola:
Equação geral:
y = ax² + bx + c
Se a<0, a parábola é “voltada para baixo”.
Aqui temos:
y = -x² - 1
✅ Abertura para baixo
✅ Vértice em x=0, y mínimo em −1
✅ Apenas o intervalo de x∈[−1,1] interessa
📌 3. Quadrados definidos por vértices
Você pode desenhá-los ligando os 4 vértices indicados.
🔹 Se os vértices variam só em x ou y de forma unitária, temos quadrados com lado 1.
📌 4. Ponto isolado
Um ponto como (0,0) deve estar visível no centro da figura.
✅ PASSO 3 — Tradução e Interpretação do Texto
Vamos interpretar os cinco conjuntos descritos no enunciado:
🔹 Conjunto I
x² + y² = 9
→ Circunferência com centro (0,0) e raio 3
→ Ocupa um espaço de 3 unidades para todos os lados a partir da origem
🔹 Conjunto II
y = -x² – 1, com x∈[−1,1]
Pontos notáveis:
x = -1 → y = -1² - 1 = -2
x = 0 → y = -0² - 1 = -1
x = 1 → y = -1² - 1 = -2 → Uma parábola “curta” com vértice no ponto (0,−1)
🔹 Conjunto III
Vértices: (−2,1),(−1,1),(−1,2),(−2,2)
→ Quadrado no 2º quadrante, com lado 1
🔹 Conjunto IV
Vértices: (1,1),(2,1),(2,2),(1,2)
→ Quadrado simétrico ao anterior, no 1º quadrante
🔹 Conjunto V
Ponto: (0,0)
→ Está no centro da circunferência
✅ Ao final, temos:
- Um rosto com olhos (dois quadrados), nariz (ponto central) e boca (parábola), tudo dentro de um círculo!
✅ PASSO 4 — Desenvolvimento de Raciocínio
🔹 Circunferência:
Raio = √9 = 3
Centro = (0,0)🔹 Parábola:
y = -x² - 1, para x entre -1 e 1
x = -1 → y = -1 - 1 = -2
x = 0 → y = 0 - 1 = -1
x = 1 → y = -1 - 1 = -2 ✅ Forma de uma “boca triste” (voltada para baixo)
🔹 Quadrados:
- Conjunto III:
- Vértices = (−2,1),(−1,1),(−1,2),(−2,2)
- → Quadrado no lado esquerdo
- Conjunto IV:
- Vértices = (1,1),(2,1),(2,2),(1,2)
- → Quadrado no lado direito
🔹 Ponto:
V = (0,0)
→ Bem no centro da circunferência
✅ PASSO 5 — Análise das Alternativas
🔸 Letra A
- Circunferência grande demais
- Boca voltada para baixo (ok), olhos ok
❌ Elimina pela escala do círculo (raio 9, e não 3)
🔸 Letra B
- Circunferência ainda grande demais
- Boca feliz (voltada para cima) ❌
❌ Elimina por escala e boca errada
🔸 Letra C
- Circunferência correta (raio 3)
- Boca voltada para cima ❌
❌ Elimina pela parábola invertida
🔸 Letra D
- Circunferência correta
- Olhos e boca certos
- Mas a parábola cruza o eixo x, o que não acontece em y = -x² -1
❌ Elimina por esse detalhe técnico
✅ Letra E
- Circunferência com raio 3 ✅
- Parábola com vértice em -1, sem cruzar o eixo x ✅
- Quadrados nas posições corretas ✅
- Ponto no centro ✅
✔️ Essa representa corretamente todos os conjuntos
✅ PASSO 6 — Conclusão e Justificativa Final
A única alternativa que representa com precisão matemática e visual os cinco conjuntos é a letra E.
Ela reúne a circunferência com raio 3, a parábola voltada para baixo sem cruzar o eixo x, os dois quadrados nos quadrantes corretos e o ponto central em (0,0).
Tudo isso compõe a figura de um rosto triste, com “olhos quadrados”, “nariz central” e “boca invertida”.
✅ Gabarito confirmado: Letra E
📌 Fechamento: A interpretação gráfica correta exige dominar conceitos algébricos e traduzi-los visualmente com cuidado. Essa questão é um excelente treino de leitura geométrica!
