Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola y = -x2/6 – 7x/3 + 12, em que y representa a altura da bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.
A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas
em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:
• ginásio I: 17 m;
• ginásio II: 18 m;
• ginásio III: 19 m;
• ginásio IV: 21 m;
• ginásio V: 40 m.
O saque desse atleta foi invalidado
A) apenas no ginásio I.
B) apenas nos ginásios I e II.
C) apenas nos ginásios I, II e III.
D) apenas nos ginásios I, II, III e IV.
E) em todos os ginásios.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Função Quadrática (2º Grau), Vértice da Parábola (Máximos e Mínimos) e Interpretação de Gráficos.
Tema/Objetivo Geral
Cálculo da altura máxima de uma trajetória parabólica e comparação de valores numéricos.
Nível da Questão: Médio.
- Exige o domínio de operações com frações dentro da fórmula do vértice.
- Requer atenção a um detalhe crucial de interpretação: o referencial do eixo y (que começa 1,5m acima do chão). O esquecimento desse detalhe é a principal causa de erro.
Gabarito: Alternativa D.
- A altura máxima da bola em relação ao chão é de aproximadamente 21,6 metros. Isso supera a altura dos tetos dos ginásios I, II, III e IV.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo
A questão fornece a equação matemática do voo de uma bola de vôlei. Precisamos calcular a altura máxima absoluta que essa bola atinge em relação ao chão e verificar em quais ginásios essa altura seria suficiente para bater no teto (invalidando o saque).
Simplificação Radical (A Analogia Central)
Imagine que o saque é um fogo de artifício. A equação nos diz a curva que ele faz. Precisamos medir a altura exata do ponto mais alto da explosão (o cume da montanha). Porém, cuidado: o lançador de fogos não está no chão, ele está em cima de um banquinho de 1,5 metro. A altura final é a altura do voo mais a altura do banquinho.
Plano de Ataque
- Identificar os coeficientes: Extrair a, b e c da equação dada.
- Calcular o Vértice Y (yv): Descobrir a altura máxima da parábola em relação ao seu eixo de origem.
- Ajustar a Referência: Somar a altura do “banquinho” (1,5 m) ao valor encontrado.
- O Veredito: Comparar essa altura final com o teto de cada ginásio.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Utilizaremos a Ficha Técnica da Parábola.
Ficha Técnica: Máximos e Mínimos
| Ferramenta | Definição | Como usar aqui |
| Equação Geral | y = ax² + bx + c | Identificar quem acompanha o x² (a), quem acompanha o x (b) e quem está sozinho (c). |
| Vértice Y (yv) | É o ponto mais alto (ou mais baixo) da curva. | Fórmula Direta: yv = -Delta / 4a. (Onde Delta = b² – 4ac). Essa fórmula nos dá a altura direto, sem precisar achar o tempo (x). |
| Referencial | O ponto zero do gráfico. | O texto diz que o eixo x está a 1,5 m do piso. Logo, Altura Real = yv + 1,5. |
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Etapa 1: Coletando os dados
A equação é: y = (-x² / 6) – (7x / 3) + 12
Aqui temos frações, então muita calma:
- a = -1/6
- b = -7/3
- c = 12
Etapa 2: Calculando o Delta
Delta = b² – 4ac
- b² = (-7/3) elevado ao quadrado = 49/9
- 4ac = 4 vezes (-1/6) vezes 12
- 4 vezes 12 = 48
- 48 vezes (-1/6) = -48/6 = -8
Logo:
Delta = 49/9 – (-8)
Delta = 49/9 + 8
Para somar essa fração, o denominador comum é 9. (Lembre-se que 8 é igual a 72/9).
Delta = 49/9 + 72/9
Delta = 121/9
Etapa 3: Calculando a Altura da Parábola (yv)
Fórmula: yv = -Delta / 4a
- Numerador: -121/9
- Denominador (4a): 4 vezes (-1/6) = -4/6 = -2/3
Divisão de frações: Conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda.
yv = (-121/9) vezes (-3/2)
Menos com menos dá mais.
yv = (121 vezes 3) / (9 vezes 2)
Simplificando o 3 de cima com o 9 de baixo:
yv = 121 / (3 vezes 2)
yv = 121 / 6
Fazendo a divisão:
yv ≈ 20,16 metros.
Etapa 4: O Ajuste Final (A Pegadinha)
Essa altura de 20,16 m é em relação ao eixo x, que já está elevado.
Altura Real do Chão = 20,16 + 1,50
Altura Real ≈ 21,66 metros.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais sedutor aqui é esquecer de somar o 1,5 m ou comparar o valor 20,16 m direto com os ginásios. Se você usasse 20,16 m, o Ginásio IV (21 m) pareceria seguro, e você marcaria a alternativa errada.
Outra armadilha é errar a soma de frações ou a regra de sinais no cálculo do Delta.
Etapa 5: O Veredito (Comparação)
A bola sobe até 21,66 metros. Vamos ver onde ela bate no teto:
- Ginásio I (17 m): Bate (21,6 > 17). ❌ Inválido.
- Ginásio II (18 m): Bate (21,6 > 18). ❌ Inválido.
- Ginásio III (19 m): Bate (21,6 > 19). ❌ Inválido.
- Ginásio IV (21 m): Bate (21,6 > 21). ❌ Inválido.
- Ginásio V (40 m): Passa longe (21,6 < 40). ✔️ Válido.
Conclusão: O saque é invalidado nos ginásios I, II, III e IV.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) apenas no ginásio I.
Diagnóstico do Erro: Subestimação Grosseira.
O aluno pode ter errado feio nas contas de fração, achando uma altura muito baixa (tipo 17,5m).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - B) apenas nos ginásios I e II.
Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo.
Achou uma altura próxima de 18 ou 19 metros, talvez errando o sinal do coeficiente b ou c.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - C) apenas nos ginásios I, II e III.
Diagnóstico do Erro: O Erro do Referencial (A Distratora Forte).
Se o aluno calcular apenas o yv (20,16 m) e esquecer de somar 1,5 m, ele achará que a bola não atinge o teto do Ginásio IV (21 m). Isso levaria a marcar esta opção.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - D) apenas nos ginásios I, II, III e IV.
Análise de Correspondência:
Calculamos a altura total como 21,66 m. Como 21,66 é maior que 21, a bola atinge o teto do ginásio IV também. Esta é a única opção que inclui todos os ginásios com teto abaixo de 21,66 m.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta. - E) em todos os ginásios.
Diagnóstico do Erro: Superestimação.
O aluno pode ter somado valores incorretamente ou achado que a altura era muito maior que 40 m (talvez esquecendo de dividir por 2a na fórmula do vértice).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento
Para problemas de trajetória, o vértice da parábola nos dá o limite da curva, mas o sistema de referência (onde está o zero) define a altura real.
Resumo-flash
“Achou o topo da parábola com atenção? Agora some a altura do chão!”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro)
Este problema é pura Cinemática (Física) disfarçada de matemática. A equação dada é a equação de Torricelli ou a equação horária da posição combinada. Na engenharia balística, calcular esse vértice é essencial para garantir que um projétil passe por cima de uma montanha (ou não bata no teto de um túnel).
