Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola y = -x²/6 – 7x/3 + 12, em que y representa a altura da bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.

A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas

em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:

• ginásio I: 17 m;

• ginásio II: 18 m;

• ginásio III: 19 m;

• ginásio IV: 21 m;

• ginásio V: 40 m.

O saque desse atleta foi invalidado

A) apenas no ginásio I.

B) apenas nos ginásios I e II.

C) apenas nos ginásios I, II e III.

D) apenas nos ginásios I, II, III e IV.

E) em todos os ginásios.

Resolução em Texto

📌 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Função quadrática, máximos e mínimos de parábolas.

📌 Nível da Questão: Médio.

📌 Gabarito: Alternativa D.

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Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

O problema trata da trajetória de uma bola de voleibol durante um saque, descrita pela equação da parábola:

y = -x² / 6 – 7x / 3 + 12

Queremos verificar se a bola atinge o teto dos ginásios, o que tornaria o saque inválido.

Palavras-chave:

• Trajetória parabólica → Descreve o caminho da bola no espaço.
• Altura máxima → O ponto mais alto da parábola, que deve ser comparado com as alturas dos ginásios.
• Saque invalidado → Ocorre se a altura máxima ultrapassar o teto de algum ginásio.

Objetivo:
Determinar a altura máxima da trajetória da bola e compará-la com as alturas dos ginásios para identificar onde o saque foi invalidado.

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Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários

Para encontrar a altura máxima da trajetória da bola, usamos o conceito de vértice de uma parábola.

🔹 O vértice da parábola

A equação da trajetória está na forma padrão:

y = ax² + bx + c

Onde:
✔ a = -1 / 6
✔ b = -7 / 3
✔ c = 12

A coordenada xv do vértice (ponto onde a altura máxima ocorre) é dada por:

xv = -b / 2a

A altura máxima yv é obtida substituindo xv na equação da parábola.

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Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto

A imagem mostra a trajetória da bola, que se inicia a 1,5 metros do chão. A equação já considera a altura em relação a um eixo posicionado a 1,5 m do piso.

O saque será invalidado se a altura máxima da bola for maior do que a altura do teto de algum ginásio.

Os tetos dos ginásios são:

• Ginásio I → 17 m
• Ginásio II → 18 m
• Ginásio III → 19 m
• Ginásio IV → 21 m
• Ginásio V → 40 m

Nosso objetivo agora é calcular a altura máxima yvy_v e comparar com essas alturas.

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Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

🔹 Passo 1: Encontrar xvx_v (ponto onde a altura máxima ocorre)

Usamos a fórmula:

xv = -b / 2a

Substituindo os valores de a e b:

xv = -(-7 / 3) / 2(-1 / 6)

xv = (7 / 3) × (-6 / 2)

xv = (7 × -3) / 3

xv = -7

🔹 Passo 2: Encontrar yvy_v substituindo xvx_v na equação

yv = -((-7)²) / 6 – 7(-7) / 3 + 12

yv = -49 / 6 + 49 / 3 + 12

Convertendo tudo para denominador 6:

yv = -49 / 6 + 98 / 6 + 72 / 6

yv = (-49 + 98 + 72) / 6

yv = 121 / 6

yv ≈ 20,1

🔹 Passo 3: Adicionar os 1,5 metros do eixo inicial

ytotal = 20,1 + 1,5 = 21,6

Agora comparamos 21,6 m com as alturas dos ginásios:

• Ginásio I (17 m) → INVÁLIDO
• Ginásio II (18 m) → INVÁLIDO
• Ginásio III (19 m) → INVÁLIDO
• Ginásio IV (21 m) → INVÁLIDO
• Ginásio V (40 m) → VÁLIDO

Portanto, o saque foi invalidado nos ginásios I, II, III e IV.

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Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução

✅ Alternativa Correta: D

A bola atingiu 21,6 m, ultrapassando os tetos dos ginásios I, II, III e IV, mas não do ginásio V, que tem 40 metros.

Analisando as opções:
❌ Alternativa A) Apenas o ginásio I → Errado
❌ Alternativa B) Apenas ginásios I e II → Errado
❌ Alternativa C) Apenas ginásios I, II e III → Errado
✅ Alternativa D) Apenas ginásios I, II, III e IV → Correto
❌ Alternativa E) Todos os ginásios → Errado (ginásio V não foi afetado)

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Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

🔍 Resumo Final:

1. A equação da trajetória foi usada para calcular a altura máxima da bola.
2. Descobrimos que a altura máxima era 21,6 metros.
3. Comparando com os tetos dos ginásios, concluímos que o saque foi invalidado nos ginásios I, II, III e IV.
4. O ginásio V, com 40 m, foi o único onde o saque foi válido.

✅ Alternativa correta: D.