Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.
Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir:
• Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde;
• Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde;
• Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes;
• Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas.
A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas:
• Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B;
• Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C;
• Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.
Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Probabilidade Condicional, Teorema da Probabilidade Total e Operações com Frações.
Tema/Objetivo Geral
Calcular e comparar probabilidades de eventos sucessivos e dependentes, envolvendo cenários com e sem transferência prévia de elementos entre conjuntos (urnas).
Nível da Questão: Difícil.
- Exige organização extrema para calcular três cenários de “Probabilidade Total” (onde uma transferência inicial cria dois universos possíveis) e, no final, comparar frações com denominadores diferentes.
Gabarito: A alternativa correta é a Letra E.
- A Opção 5 oferece a maior probabilidade (aproximadamente 21,4%), superando a Opção 4 (20%) e as demais.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Você tem 5 estratégias para tentar tirar duas bolas pretas seguidas (sem reposição) de urnas diferentes. Algumas estratégias envolvem apenas tirar as bolas. Outras envolvem “passar uma bola de uma urna para outra” antes de tirar. Você deve calcular a probabilidade de sucesso de cada uma das 5 opções e apontar qual é a maior.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine um técnico de futebol decidindo a jogada.
- Nas opções 1 e 2, ele chuta direto (sorteio simples).
- Nas opções 3, 4 e 5, ele faz um passe antes de chutar (transfere uma bola, muda a composição do time/urna, e só depois chuta).
A pergunta é: qual jogada tem mais chance de resultar em “Gol” (duas pretas)?
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Cálculo Simples: Resolver as Opções 1 e 2.
- Cálculo Complexo (Árvore): Resolver as Opções 3, 4 e 5 considerando que a transferência cria dois cenários possíveis (passar preta ou não).
- O Duelo Final: Comparar as frações resultantes.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para as Opções 3, 4 e 5, precisamos do Teorema da Probabilidade Total (O Multiverso das Urnas).
Quando o enunciado diz “Passar uma bola da urna X para a urna Y”, ele cria imediatamente duas linhas do tempo paralelas, pois não sabemos a cor da bola transferida.
1. A Estrutura da “História Dividida”:
A chance total é a soma de dois caminhos:
- Caminho A (Transferiu PRETA): A urna de destino ganha +1 Preta. Calculamos a chance de vitória com essa urna “rica”.
- Caminho B (Transferiu OUTRA): A urna de destino ganha +1 Bola Inútil. Calculamos a chance de vitória com essa urna “diluída”.
2. A Fórmula do Sorteio Sucessivo (Sem Reposição):
Dentro de cada caminho, precisamos tirar 2 pretas seguidas. A fórmula linear é:
P(2 Pretas) = (Pretas / Total) * ((Pretas – 1) / (Total – 1))
Fluxograma de Cálculo (Texto Puro):
(Prob. Transferir Preta * Vitória na Urna Rica) + (Prob. Transferir Outra * Vitória na Urna Diluída).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular cada caso usando apenas texto linear e detalhando as multiplicações.
GRUPO 1: Sorteio Simples (Sem transferência)
- Opção 1 (Urna A): Tem 2 Pretas em 6 bolas.
- Cálculo: (2/6) * (1/5) = 2/30 = 1/15.
- Opção 2 (Urna B): Tem 3 Pretas em 10 bolas.
- Cálculo: (3/10) * (2/9) = 6/90 = 1/15.
(Opções 1 e 2 são iguais e baixas. Descarte.)
- Cálculo: (3/10) * (2/9) = 6/90 = 1/15.
GRUPO 2: Sorteio com Transferência (O Bicho Pega)
Opção 3 (Passar de C para A)
- Transferência: C tem 2 Pretas e 2 Verdes. Chance de passar Preta = 1/2.
- Cenário 1 (Passou Preta): A urna A fica com 3 Pretas em 7 bolas.
- Chance: (1/2) * (3/7 * 2/6).
- Multiplicando tudo (numeradores e denominadores): (1 * 3 * 2) / (2 * 7 * 6) = 6/84.
- Simplificando por 6: 1/14.
- Cenário 2 (Passou Verde): A urna A fica com 2 Pretas em 7 bolas.
- Chance: (1/2) * (2/7 * 1/6).
- Multiplicando tudo: (1 * 2 * 1) / (2 * 7 * 6) = 2/84.
- Simplificando por 2: 1/42.
- Total Opção 3: 1/14 + 1/42.
- MMC de 14 e 42 é 42. Então: 3/42 + 1/42 = 4/42 (simplificando: 2/21).
Opção 4 (Passar de D para C)
- Transferência: D tem 3 Pretas e 3 Brancas. Chance de passar Preta = 1/2.
- Cenário 1 (Passou Preta): A urna C fica com 3 Pretas em 5 bolas.
- Chance: (1/2) * (3/5 * 2/4) = 6/40 = 3/20.
- Cenário 2 (Passou Branca): A urna C fica com 2 Pretas em 5 bolas.
- Chance: (1/2) * (2/5 * 1/4) = 2/40 = 1/20.
- Total Opção 4: 3/20 + 1/20 = 4/20 = 1/5. (Isso é igual a 20%).
Opção 5 (Passar de C para D)
- Transferência: C tem 2 Pretas e 2 Verdes. Chance de passar Preta = 1/2.
- Cenário 1 (Passou Preta): A urna D fica com 4 Pretas em 7 bolas.
- Chance: (1/2) * (4/7 * 3/6).
- Multiplicando tudo: (1 * 4 * 3) / (2 * 7 * 6) = 12/84.
- Simplificando por 12: 1/7.
- Cenário 2 (Passou Verde): A urna D fica com 3 Pretas em 7 bolas.
- Chance: (1/2) * (3/7 * 2/6).
- Multiplicando tudo: (1 * 3 * 2) / (2 * 7 * 6) = 6/84.
- Simplificando por 6: 1/14.
- Total Opção 5: 1/7 + 1/14.
- MMC de 7 e 14 é 14. Então: 2/14 + 1/14 = 3/14.
A Bússola (O Duelo Final):
Temos dois finalistas fortes: Opção 4 (1/5) e Opção 5 (3/14).
Para comparar sem erro, igualamos os denominadores. O MMC de 5 e 14 é 70.
- Opção 4: 1/5 = 14/70 (20,0%).
- Opção 5: 3/14 = 15/70 (Aprox 21,4%).
Veredito: 15 é maior que 14. A Opção 5 vence.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Alternativa (A): 1.
O Diagnóstico do Erro: Cálculo Básico. Probabilidade de 1/15 (6,6%). Muito baixa.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa (B): 2.
O Diagnóstico do Erro: Cálculo Básico. Também resulta em 1/15. Empata com a A na lanterna.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa (C): 3.
O Diagnóstico do Erro: Erro na Ponderação. Probabilidade de 2/21 (9,5%). Melhor que as anteriores, mas longe da vitória.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa (D): 4.
O Diagnóstico do Erro: Erro de Comparação Final. Resulta em 1/5 (20%). É o maior distrator. O aluno pode achar que 0,20 é maior que 3/14 se não fizer a conta decimal ou o MMC.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa (E): 5.
Análise de Correspondência: Perfeito. Resulta em 3/14 (aproximadamente 21,4%), que é matematicamente a maior probabilidade entre todas as opções.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é a Alternativa E.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Transferir uma bola preta para uma urna grande (D) onde ela vira a maioria cria um impacto maior do que para uma urna pequena.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema utiliza o conceito de Inferência Bayesiana e atualização de probabilidades. É exatamente assim que filtros de spam funcionam: eles analisam uma palavra nova (transferência de informação), atualizam a probabilidade do e-mail ser lixo (nova composição da urna) e tomam uma decisão.
