A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por f = A/rB
O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r = 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. A e B são constantes positivas.
Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adaptado).
Com base nos valores de X = log (r) e Y = log (f), é possível estimar valores para A e B.
No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é:
Resolução em Texto
1.Matérias Necessárias para a Solução
- Logaritmos: Propriedades como soma, subtração e multiplicação de logaritmos.
- Funções Matemáticas: Manipulação e relação entre variáveis.
2.Nível da Questão
Médio
3.Gabarito
Alternativa A: Y=log(A)−B⋅X
Resolução Passo a Passo
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O enunciado descreve a Lei de Zipf, que relaciona a frequência (f) e o ranking (r) de uma palavra através da fórmula:
,onde A e B são constantes positivas.
O objetivo é determinar a relação entre Y e X, onde:
- Y=log(f)
- X=log(r)
Deve-se manipular a equação da Lei de Zipf para expressar Y em função de X, encontrando a relação correta.
Passo 2: Tradução e Interpretação do Texto
1. Tradução da Fórmula da Lei de Zipf:
–> A frequência f como inversamente proporcional ao ranking r, elevado a uma potência B.
2. O enunciado sugere aplicar logaritmos na fórmula para facilitar a análise da relação entre Y e X.
3. A relação será obtida explorando as propriedades dos logaritmos, que permitem simplificar produtos, potências e divisões.
Passo 3: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
–> Logaritmo da Divisão:
–> Logaritmo da Potência:
–> Substituição de Variáveis (Enunciado definiu):
Y=log(f) e X=log(r).
Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio
–> Partindo da fórmula original:
–> Aplicando o logaritmo nos dois lados:
–> Utilizando a propriedade do logaritmo da divisão:
–> Aplicando a propriedade do logaritmo da potência no termo log(r^B):
–> Substituindo as variáveis Y=log(f) e X=log(r):
Y=log(A)−B⋅X
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
- Correta. Corresponde exatamente à relação encontrada no desenvolvimento da equação.
- Incorreta. Apresenta uma estrutura que não reflete as propriedades dos logaritmos aplicadas.
- Correção: A estrutura correta deveria envolver subtração, não divisão, como em log(A)−B⋅X.
- Incorreta. O termo log(A)/B contradiz a relação correta, pois log(A) não é dividido por B.
- Correção: Eliminar o divisor B e estruturar como log(A)−B⋅X.
- Incorreta. A forma log(A)/B⋅X não reflete a subtração esperada.
- Correção: Reestruturar para log(A)−B⋅X.
- Incorreta. A relação log(A)/X^B sugere divisão errada e ignora a subtração de logaritmos.
- Correção: Reescrever como log(A)−B⋅X.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
A relação entre Y e X, de acordo com as propriedades logarítmicas aplicadas, é:
–> Y=log(A)−B⋅X
Portanto, a alternativa correta é A.
