Questão 149, caderno azul ENEM 2020

A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por f = A/r^B

O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r = 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. A e B são constantes positivas.

Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adaptado).

Com base nos valores de X = log (r) e Y = log (f), é possível estimar valores para A e B.

No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é:

Resolução Em Texto

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Matemática (Logaritmos e suas Propriedades)
Álgebra (Manipulação de Equações)
Funções (Linearização de Funções de Potência)

🎯 Tema/Objetivo Geral

Aplicação das propriedades dos logaritmos para linearizar uma lei de potência (Lei de Zipf) e encontrar a relação entre as novas variáveis.

📊 Nível da Questão

Médio.
Por quê? A questão exige a aplicação direta das propriedades operatórias dos logaritmos (logaritmo da divisão e logaritmo da potência) em uma equação dada. Embora seja um procedimento padrão em ciências de dados para linearizar relações, pode não ser trivial para todos os alunos, exigindo um bom domínio da manipulação algébrica com logaritmos.

✅ Gabarito

Alternativa A.
Resumo: O problema é resolvido aplicando-se o logaritmo em ambos os lados da Lei de Zipf. Utilizando a propriedade do logaritmo da divisão e, em seguida, a do logaritmo da potência, a equação é transformada em uma relação linear entre Y = log(f) e X = log(r).

Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Transcrição Essencial 📌

“Com base nos valores de X = log(r) e Y = log(f), é possível estimar valores para A e B. No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é”

O que está sendo pedido?

A questão nos dá a Lei de Zipf, f = A / r^B, e duas novas variáveis, Y = log(f) e X = log(r). Ela pede para reescrevermos a Lei de Zipf em termos de Y e X.

Objetivo Cristalino 💎

Nosso objetivo é pegar a equação original, aplicar a função logaritmo nela e usar as propriedades dos logaritmos para manipulá-la até que ela se pareça com uma das alternativas, com Y de um lado e X do outro.

🧠 Você se lembra das duas propriedades mais importantes dos logaritmos para este problema: o que acontece com uma divisão dentro de um logaritmo e o que acontece com um expoente dentro de um logaritmo?

Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários

Definição de Termos 🔖

Lei de Zipf: A equação dada, f = A / r^B. É um exemplo de uma lei de potência, comum em muitos fenômenos naturais e sociais.
Logaritmo: É o inverso da exponenciação. Se 10^y = x, então log(x) = y (usando base 10).
Propriedades Operatórias dos Logaritmos: As ferramentas que usaremos para resolver o problema:
1. Logaritmo da Divisão: O logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos.
  log(m / n) = log(m) – log(n)
2. Logaritmo da Potência: O logaritmo de uma potência é o expoente multiplicado pelo logaritmo da base.
  log(m^k) = k ⋅ log(m)
Linearização: É o processo de transformar uma equação não linear (como a lei de potência de Zipf) em uma equação linear (do tipo y = mx + c). Fazer isso aplicando logaritmos é uma técnica muito comum, pois gráficos de retas são muito mais fáceis de analisar e ajustar.

Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

Contextualização Simplificada 💬

Temos uma fórmula complicada: f = A / r^B. Ela descreve uma curva. Os cientistas não gostam de trabalhar com curvas; eles preferem linhas retas. Para transformar essa curva em uma reta, eles usam uma “ferramenta mágica”: o logaritmo.
A questão nos pede para aplicar essa ferramenta mágica na fórmula. O processo é:

Aplicar log dos dois lados da equação.
Usar as “regras da mágica” (as propriedades dos logaritmos) para simplificar a expressão.
No final, substituir log(f) por Y e log(r) por X.
O resultado será uma equação de reta, que é uma das alternativas.

Estratégia Geral 🗺️

Nossa estratégia será um passo a passo algébrico, aplicando as propriedades dos logaritmos à equação da Lei de Zipf.

Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio

Passo a Passo Detalhado 👣

Etapa 1: Começar com a Lei de Zipf
f = A / r^B

Etapa 2: Aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação
log(f) = log(A / r^B)

Etapa 3: Usar a propriedade do logaritmo da divisão
log(m / n) = log(m) – log(n)
Aplicando à nossa equação:
log(f) = log(A) – log(r^B)

Etapa 4: Usar a propriedade do logaritmo da potência
log(m^k) = k ⋅ log(m)
Aplicando ao segundo termo da nossa equação:
log(f) = log(A) – B ⋅ log(r)

Etapa 5: Substituir pelas variáveis Y e X
O enunciado nos diz que:

Y = log(f)
X = log(r)
Substituindo na equação que encontramos:
Y = log(A) – B ⋅ X

Conclusão: A relação entre Y e X é Y = log(A) – B ⋅ X.
Esta é uma equação de uma reta (Y = c + mX), onde c = log(A) (o intercepto y) e m = -B (o coeficiente angular).

A Armadilha Comum 🚨

A principal armadilha é não conhecer ou aplicar incorretamente as propriedades dos logaritmos. Por exemplo, um aluno poderia pensar que log(A / r^B) é log(A) / log(r^B), o que levaria a um resultado completamente diferente. É crucial memorizar e praticar as propriedades operatórias.

Fechamento e Expectativa

A manipulação algébrica nos levou a uma equação linear. Agora, vamos procurar essa equação exata nas alternativas.

Passo 5: Análise das Alternativas

🟢 A) Y = log(A) – B ⋅ X
Correta. Esta alternativa corresponde exatamente à equação que derivamos ao aplicar as propriedades dos logaritmos.

🔴 B) Y = log(A) / (X + log(B))
Incorreta. Resultado de uma aplicação incorreta das propriedades.

🔴 C) Y = log(A) / B – X
Incorreta. Mistura as propriedades de forma errada.

🔴 D) Y = log(A) / (B ⋅ X)
Incorreta. Outra aplicação incorreta das propriedades.

🔴 E) Y = log(A) / X^B
Incorreta. Esta alternativa esqueceu de aplicar o logaritmo no denominador da fração original.

Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

Resumo do Raciocínio 📝

O problema solicita a transformação da equação da Lei de Zipf, f = A / r^B, em uma relação linear entre Y = log(f) e X = log(r). Para isso, aplica-se a função logaritmo em ambos os lados da equação original, obtendo log(f) = log(A / r^B). Utilizando a propriedade do logaritmo da divisão, a equação se torna log(f) = log(A) – log(r^B). Em seguida, aplicando a propriedade do logaritmo da potência, chegamos a log(f) = log(A) – B ⋅ log(r). Finalmente, substituindo log(f) por Y e log(r) por X, a relação final encontrada é Y = log(A) – B ⋅ X.

Gabarito Reafirmado 🏅

A alternativa correta é a A.

Resumo Final para Revisão 🔍

Linearizar uma lei de potência y = a ⋅ x^b com logaritmos é um truque clássico. Lembre-se do resultado: log(y) = log(a) + b ⋅ log(x). Para uma lei de potência inversa como a da questão, y = a / x^b, o sinal do segundo termo se inverte: log(y) = log(a) – b ⋅ log(x).