As projeções para a produção de arroz no período de 2012 – 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de:
A) 497,25.
B) 500,85.
C) 502,87.
D) 558,75.
E) 563,25.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Progressão Aritmética (PA) e Soma dos termos de uma PA.
📝 Tema/Objetivo Geral:
Calcular a produção total projetada com base em um crescimento constante, utilizando fórmulas de progressão aritmética.
📊 Nível da Questão:
Médio — exige a identificação de uma PA, o uso de fórmulas específicas e atenção aos dados fornecidos.
🎯 Gabarito:
D) 558,75
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 A tabela mostra a produção de arroz de 2012 a 2015, e o enunciado afirma que esse padrão de crescimento continuará até 2021. O comando pede a quantidade total de arroz produzida entre 2012 e 2021, considerando esse crescimento constante.
📌 O que está sendo pedido? O total de produção no período completo de 10 anos.
🎯 Objetivo cristalino: Identificar que se trata de uma progressão aritmética, calcular o último termo (de 2021) e aplicar a fórmula da soma dos termos para obter a produção total.
🔍 Se o padrão é constante, será que estamos diante de uma PA? Vamos verificar isso com atenção.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Em uma progressão aritmética (PA), a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença é chamada de razão, representada por r.
📌 Fórmulas que vamos usar:
📐 Termo geral da PA:
aₙ = a₁ + (n – 1) × r
📊 Soma dos termos da PA:
Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2
🧠 Já viu essas fórmulas antes? Aqui, vamos usá-las para descobrir o último valor da sequência e depois somar todos os valores do período de 10 anos.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 A tabela mostra os seguintes dados:
- 2012 → 50,25 t
- 2013 → 51,50 t
- 2014 → 52,75 t
- 2015 → 54,00 t
📈 Observando os valores, percebemos que a produção cresce de forma constante, sempre com um aumento de 1,25 toneladas por ano. Ou seja, a razão r = 1,25.
🗓 O período de 2012 até 2021 tem 10 anos, então teremos 10 termos na PA.
👀 Já que sabemos o valor inicial, a razão e a quantidade de anos, dá pra seguir com os cálculos com segurança.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Informações principais:
- a₁ = 50,25
- r = 1,25
- n = 10
🔢 Vamos encontrar o último termo da sequência, ou seja, a produção projetada para 2021:
📌 a₁₀ = 50,25 + (10 – 1) × 1,25 = 50,25 + 11,25 = 61,50
Agora, usamos a fórmula da soma:
📌 S₁₀ = (50,25 + 61,50) × 10 / 2 = 111,75 × 10 / 2 = 1111,50 / 2 = 558,75
💡 Cuidado para não esquecer de dividir por 2 na fórmula da soma, ok? Isso é erro comum.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Alternativas apresentadas:
A) 497,25
B) 500,85
C) 502,87
D) 558,75
E) 563,25
✅ A soma dos termos da PA resultou em 558,75 toneladas, portanto a alternativa correta é a D.
🚫 As demais alternativas surgem de cálculos errados, seja ao determinar a razão, o número de termos, ou ao aplicar a fórmula da soma.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 A questão envolve uma sequência crescente com padrão fixo — ou seja, uma PA. Com o valor inicial, a razão e o número de termos, conseguimos aplicar corretamente as fórmulas para encontrar o último termo e depois a soma da produção total. O resultado foi 558,75 toneladas, confirmando a alternativa correta.
🔍 Resumo Final:
A produção de arroz entre 2012 e 2021 segue uma progressão aritmética com razão 1,25 e 10 termos. Ao aplicar a fórmula da soma, encontramos o total de 558,75 toneladas, o que corresponde à alternativa D.
