Questão 148, caderno azul do ENEM 2022 D2

A luminosidade L de uma estrela está relacionada com o raio R e com a temperatura T dessa estrela segundo a Lei de Stefan-Boltzmann:

L = c . R² . T⁴ em que c é uma constante igual para todas as estrelas.

Disponível em: http://ciencia.hsw.uol.com.br. Acesso em: 22 nov. 2013 (adaptado)

Considere duas estrelas E e F, sendo que a estrela E tem metade do raio da estrela F e o dobro da temperatura de F.

Indique por L_E e L_F suas respectivas luminosidades.

A relação entre as luminosidades dessas duas estrelas é dada por

A) L_E = L_F/2

B) L_E = L_F/4

C) L_E = L_F

D) L_E = 4L_F

E) L_E = 8L_F

Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Álgebra Elementar (Potenciação e Substituição Numérica) e Interpretação de Fórmulas Físicas.

Tema/Objetivo Geral
Comparação de grandezas físicas através da substituição de variáveis em uma fórmula dada.

Nível da Questão: Médio.

Exige que o aluno manipule uma fórmula com letras sem usar números concretos, aplicando corretamente as propriedades de potenciação (elevar frações e produtos) para comparar dois estados diferentes (Estrela E vs. Estrela F).

Gabarito: Alternativa D.

Ao substituir o raio pela metade (R/2) e a temperatura pelo dobro (2T) na fórmula, o termo do raio é dividido por 4 e o da temperatura é multiplicado por 16. O resultado final é uma multiplicação por 4.

PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo
A questão fornece uma fórmula de luminosidade estelar que depende de duas coisas: Raio (R) e Temperatura (T). Ela pede para compararmos uma estrela original (F) com uma estrela modificada (E), onde o Raio diminuiu pela metade e a Temperatura dobrou. O objetivo é descobrir quantas vezes a nova luminosidade é maior ou menor que a original.

Simplificação Radical (A Analogia Central)
Imagine que a luminosidade é o volume de um som controlado por dois botões. O botão do “Raio” foi diminuído, o que abaixa o som. Mas o botão da “Temperatura” foi aumentado, o que sobe o som.
O segredo é que o botão da Temperatura é muito mais poderoso (ele tem força 4, enquanto o Raio só tem força 2). Queremos saber: no final das contas, o som ficou mais alto ou mais baixo?

Plano de Ataque

Definir o Padrão: Escrever a fórmula da Estrela F (a original).
Aplicar as Mudanças: Escrever a fórmula da Estrela E, trocando as letras pelos novos valores (R dividido por 2 e 2 vezes T).
Calcular o Impacto: Resolver as potências e ver qual número sobra multiplicando a equação.

PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Para resolver isso, precisamos dominar a Álgebra de Substituição. Vamos organizar o conhecimento necessário em um Dossiê.

Dossiê Técnico: Manipulação de Potências

Regra	O que significa	Exemplo Prático
Substituição Segura	Ao trocar uma letra por uma expressão, sempre use parênteses para não errar a potência.	Se x vale 2y, então x² vira (2y)².
Potência de Produto	O expoente vale para o número E para a letra.	(2T)⁴ não é 2T⁴. É 2 elevado a 4 vezes T elevado a 4 (16.T⁴).
Potência de Fração	O expoente vale para o numerador E para o denominador.	(R/2)² vira R² dividido por 2² (que é 4).

PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos seguir o plano, escrevendo as fórmulas passo a passo.

Etapa 1: Estabelecendo a Referência (Estrela F)
A questão diz que a estrela F tem Raio R e Temperatura T.
Luminosidade de F (LF):
LF = c . R² . T⁴
(Guarde essa expressão. Sempre que aparecer “c . R² . T⁴”, isso é igual a LF).

Etapa 2: A Estrela Modificada (Estrela E)
A questão diz que a Estrela E tem:
Raio = metade de F = R/2
Temperatura = dobro de F = 2T

Vamos colocar isso na fórmula da Luminosidade de E (LE):
LE = c . (Raio de E)² . (Temp de E)⁴

Substituindo com cuidado (usando parênteses):
LE = c . (R/2)² . (2T)⁴

Etapa 3: Resolvendo as Potências
Agora aplicamos a matemática nas potências:

Resolvendo o Raio: (R/2)²
Isso é R² dividido por 2².
Como 2² = 4, temos: R²/4
Resolvendo a Temperatura: (2T)⁴
Isso é 2 elevado a 4 vezes T elevado a 4.
Como 2 x 2 x 2 x 2 = 16, temos: 16 . T⁴

Etapa 4: Juntando Tudo e Simplificando
Voltamos à equação de LE com os novos valores:
LE = c . (R²/4) . (16 . T⁴)

Vamos reorganizar os números para o começo da linha para facilitar a conta:
LE = (16 dividido por 4) . c . R² . T⁴

Fazendo a divisão 16/4, temos 4.
LE = 4 . (c . R² . T⁴)

O Momento “Eureca”:
Olhe para a parte final: (c . R² . T⁴).
Isso é exatamente a fórmula da Estrela F (LF) que guardamos na Etapa 1.
Portanto:
LE = 4 . LF

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum aqui é a “ilusão do cancelamento”. O aluno pensa: “Se o raio diminuiu pela metade (dividiu por 2) e a temperatura dobrou (multiplicou por 2), uma coisa anula a outra e fica igual”.
Por que está errado? Porque a temperatura está elevada à quarta potência! O “2” da temperatura vira “16”, enquanto o “2” do raio vira apenas “4”. O aumento é muito mais forte que a diminuição.

Bússola (Síntese do Raciocínio)
A diminuição do raio tentou reduzir a luz em 4 vezes. O aumento da temperatura tentou aumentar a luz em 16 vezes. O resultado da disputa (16 dividido por 4) é um aumento total de 4 vezes.
Expectativa: Procurar a alternativa que diz que LE é 4 vezes LF.

PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) LE = LF/2
Diagnóstico do Erro: Erro de Potência ou Leitura.
O aluno pode ter pensado que reduzir o raio à metade é o único fator importante, esquecendo de elevar ao quadrado ou ignorando a temperatura.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) LE = LF/4
Diagnóstico do Erro: Foco em apenas uma variável.
Aqui o aluno calculou corretamente o impacto do raio (1/2 ao quadrado = 1/4), mas esqueceu completamente de calcular o impacto da temperatura.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) LE = LF
Diagnóstico do Erro: A Ilusão do Cancelamento.
Como vimos na Armadilha, o aluno acha que “metade” e “dobro” se anulam, esquecendo que os expoentes (2 e 4) mudam o peso de cada mudança.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) LE = 4LF
Análise de Correspondência:
Perfeito. O termo do raio divide a luminosidade por 4. O termo da temperatura multiplica a luminosidade por 16. O saldo final é 16/4 = 4. A estrela E brilha 4 vezes mais.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
E) LE = 8LF
Diagnóstico do Erro: Erro de Aritmética na Potência.
O aluno pode ter calculado 2 elevado a 4 incorretamente como sendo 8 (confundindo com 2 vezes 4 ou 2 ao cubo), ou errou a divisão final dos coeficientes.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento
Em fórmulas físicas, quem tem o maior expoente manda no resultado: uma pequena alteração na base de uma potência alta gera um impacto explosivo no valor final.

Resumo-flash
“Raio ao quadrado divide por quatro, Temperatura à quarta multiplica por dezesseis; na conta final, o brilho quadruplicou de vez.”

Para ir Além (A Ponte para o Futuro)
A Lei de Stefan-Boltzmann é fundamental para entender o Aquecimento Global. A Terra emite calor como um corpo negro. Um pequeno aumento na temperatura média do planeta resulta em um aumento grande na energia irradiada (proporcional a T à quarta potência). É por isso que furacões, que dependem de energia térmica, ficam muito mais intensos com aumentos de temperatura que parecem “pequenos” (como 1 ou 2 graus). A matemática é a mesma!