A luminosidade L de uma estrela está relacionada com o raio R e com a temperatura T dessa estrela segundo a Lei de Stefan-Boltzmann:
L = c . R2 . T4 em que c é uma constante igual para todas as estrelas.
Disponível em: http://ciencia.hsw.uol.com.br. Acesso em: 22 nov. 2013 (adaptado)
Considere duas estrelas E e F, sendo que a estrela E tem metade do raio da estrela F e o dobro da temperatura de F.
Indique por LE e LF suas respectivas luminosidades.
A relação entre as luminosidades dessas duas estrelas é dada por
A) LE = LF/2
B) LE = LF/4
C) LE = LF
D) LE = 4LF
E) LE = 8LF
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Proporcionalidade, Regra de Três, Equações, Leis da Física (Lei de Stefan-Boltzmann).
Nível da Questão:
- Médio.
Gabarito:
- D.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomada do Comando:
O enunciado apresenta a Lei de Stefan-Boltzmann, dada por:
L = c · R² · T⁴,
onde c é uma constante igual para todas as estrelas. São dadas duas estrelas, E e F, com as seguintes condições:
- A estrela E tem metade do raio de F, isto é, R_E = R_F dividido por 2.
- A estrela E tem o dobro da temperatura de F, isto é, T_E = 2 vezes T_F.
🔹 O que o Comando Pede:
Determinar, por meio da relação da lei de Stefan-Boltzmann, a relação entre as luminosidades das estrelas E e F, expressa como L_E em relação a L_F.
✔ Palavras-Chave:
“R_E = R_F/2”, “T_E = 2T_F”, “Lei de Stefan-Boltzmann”, “L = c · R² · T⁴”.
✔ Objetivo da Questão:
Demonstrar que, ao substituir os valores de R_E e T_E na equação, a luminosidade da estrela E é 4 vezes a luminosidade de F, ou seja, L_E = 4 L_F.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceito da Lei de Stefan-Boltzmann:
🔹 A luminosidade (L) de uma estrela é proporcional à área de sua superfície (que é proporcional ao quadrado do seu raio, R²) e à quarta potência da sua temperatura (T⁴).
🔹 A fórmula é:
L = c · R² · T⁴
onde c é uma constante que não varia entre as estrelas.
✔ Relação com o Problema:
Com essa relação, é possível comparar as luminosidades de duas estrelas, alterando apenas os valores de R e T.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Contexto e Informações Dadas:
- Estrela F: possui raio R_F e temperatura T_F, com luminosidade:
L_F = c · (R_F)² · (T_F)⁴. - Estrela E: possui raio igual a metade de R_F e temperatura igual a 2 vezes T_F, com luminosidade:
L_E = c · (R_F/2)² · (2T_F)⁴.
🔹 Frases-Chave:
- “E tem metade do raio de F”
- “E tem o dobro da temperatura de F”
- “L = c · R² · T⁴”
✔ Interpretação:
Substituir os valores dados para a estrela E na fórmula permitirá comparar L_E com L_F.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Desenvolvimento Passo a Passo:
- Expressão para L_F:
- L_F = c · (R_F)² · (T_F)⁴.
- Expressão para L_E:
- L_E = c · (R_F dividido por 2)² · (2T_F)⁴.
- Cálculo da Parte do Raio:
- (R_F dividido por 2)² equivale a (R_F)² dividido por 4.
- Cálculo da Parte da Temperatura:
- (2T_F)⁴ equivale a 2 elevado à 4ª potência vezes (T_F)⁴.
- 2 elevado à 4ª potência é 16.
- Substituindo na Expressão de L_E:
- L_E = c · ((R_F)² dividido por 4) · (16 · (T_F)⁴).
- Simplificação da Expressão:
- Multiplicando 16 por 1/4, temos 16 dividido por 4 = 4.
- Assim, L_E = 4 · c · (R_F)² · (T_F)⁴.
- Ou seja, L_E = 4 L_F.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Alternativas:
- A) L_E = L_F/2
- B) L_E = L_F/4
- C) L_E = L_F
- D) L_E = 4 L_F
- E) L_E = 8 L_F
✅ Alternativa Correta – D:
- Explicação: Conforme os cálculos, substituindo as condições de raio e temperatura da estrela E na Lei de Stefan-Boltzmann, obtém-se L_E = 4 L_F.
❌ Alternativas Incorretas:
- A) Incorreta, pois L_E não é metade de L_F, mas 4 vezes maior.
- B) Incorreta, pois L_E não é um quarto de L_F.
- C) Incorreta, pois L_E não é igual a L_F.
- E) Incorreta, pois L_E não é 8 vezes L_F.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
Utilizando a Lei de Stefan-Boltzmann, com L = c · R² · T⁴, substituímos as condições para a estrela E, onde o raio é R_F dividido por 2 e a temperatura é 2T_F. Ao elevar esses valores, obtemos L_E = c · ((R_F)² dividido por 4) · (16 · (T_F)⁴) = 4 · c · (R_F)² · (T_F)⁴, ou seja, L_E = 4 L_F.
✅ Reafirmação da Alternativa Correta:
A alternativa D (L_E = 4 L_F) é a resposta correta, pois demonstra que a estrela E é quatro vezes mais luminosa que a estrela F.
🔍 Resumo Final:
🔍 Em resumo, a substituição dos valores de raio e temperatura na Lei de Stefan-Boltzmann mostra que, com R_E = R_F/2 e T_E = 2T_F, a luminosidade de E se torna 4 vezes a de F, validando a alternativa D como correta.
