Uma empresa deseja iniciar uma campanha publicitária divulgando uma promoção para seus possíveis consumidores. Para esse tipo de campanha, os meios mais viáveis são a distribuição de panfletos na rua e anúncios na rádio local. Considera-se que a população alcançada pela distribuição de panfletos seja igual à quantidade de panfletos distribuídos, enquanto que a alcançada por um anúncio na rádio seja igual à quantidade de ouvintes desse anúncio. O custo de cada anúncio na rádio é de R$ 120,00, e a estimativa é de que seja ouvido por 1 500 pessoas. Já a produção e a distribuição dos panfletos custam R$ 180,00 cada 1 000 unidades. Considerando que cada pessoa será alcançada por um único desses meios de divulgação, a empresa pretende investir em ambas as mídias.
Considere X e Y os valores (em real) gastos em anúncios na rádio e com panfletos, respectivamente.
O número de pessoas alcançadas pela campanha será dado pela expressão
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática Básica (Razão e Proporção), Álgebra (Modelagem de Expressões) e Regra de Três.
Tema/Objetivo Geral
Criar uma expressão algébrica que calcule o alcance total de uma campanha publicitária baseada no retorno por real investido.
Nível da Questão: Médio.
- Não exige cálculos complexos, mas exige modelagem matemática. O aluno precisa traduzir um problema de texto para uma fórmula algébrica, o que costuma travar muita gente que só decora tabuada.
Gabarito: A alternativa correta é a Letra A.
- A expressão soma o alcance do rádio (50 pessoas a cada 4 reais investidos) com o alcance dos panfletos (50 pessoas a cada 9 reais investidos).
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Você é o gerente de marketing. Você tem duas máquinas de atrair clientes: Rádio e Panfletos. Cada uma tem uma eficiência diferente (quantas pessoas ela traz para cada real que você gasta). Você vai investir X no Rádio e Y nos Panfletos. A questão quer a fórmula matemática que diz quantas pessoas no total serão atingidas.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você está comprando balas.
- Loja Rádio: R$ 120 compram 1.500 balas.
- Loja Panfleto: R$ 180 compram 1.000 balas.
Se você gastar X na primeira e Y na segunda, quantas balas você leva para casa?
O segredo é descobrir o preço unitário (ou melhor, a “quantidade unitária por real”) de cada loja.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Calcular a Potência do Rádio: Descobrir quantas pessoas são alcançadas com apenas R$ 1,00.
- Calcular a Potência do Panfleto: Descobrir quantas pessoas são alcançadas com apenas R$ 1,00.
- Montar a Fórmula: Multiplicar essa potência pelo dinheiro investido (X e Y) e somar tudo.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar o Diálogo Mentor-Aluno para entender como montar essa proporção sem decorar fórmulas.
Diálogo Mentor-Aluno
Aluno: Mestre, eu sempre confundo. Eu divido o dinheiro pelas pessoas ou as pessoas pelo dinheiro?
Detetive: Ótima pergunta. Vamos pela lógica. O que você quer descobrir no final? Dinheiro ou Pessoas?
Aluno: Quero descobrir o número de pessoas alcançadas.
Detetive: Exato. Então, sua “unidade base” deve ser Pessoas por Real. Pense comigo: se 120 reais trazem 1.500 pessoas, como eu descubro quanto traz 1 real?
Aluno: Faço uma regra de três?
Detetive: Pode ser. Mas o atalho é a divisão direta. Eficiência = (O que você ganha) / (O que você paga). Ou seja: Eficiência = Pessoas / Reais.
Aluno: Entendi. Se eu fizer o contrário (Reais / Pessoas), estarei calculando “quanto custa cada pessoa”, certo?
Detetive: Precisamente! E a questão não quer o custo, quer o alcance. Então, a fração tem que ter Pessoas no Numerador (Cima) e Dinheiro no Denominador (Baixo).
Aluno: E depois?
Detetive: Depois é só multiplicar essa fração pela quantidade de dinheiro que você vai gastar (X ou Y). A matemática fará o resto.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular a eficiência de cada mídia detalhadamente. Aqui usaremos uma estratégia chamada “Olhadinha no Gabarito”: antes de simplificar as frações até o fim, olhamos as alternativas para ver que formato o examinador quer.
1. Analisando o Rádio (Investimento X)
- Dados: 1.500 pessoas custam R$ 120.
- Montagem da Fração (Pessoas / Reais): 1500 / 120.
- Simplificação Estratégica:
- Cortar os zeros finais: Fica 150 / 12.
- Observar as alternativas: Note que várias opções usam o número “50” e “4”.
- Dividir em cima e embaixo por 3:
- 150 dividido por 3 = 50.
- 12 dividido por 3 = 4.
- Resultado da Eficiência: 50/4 (Alcança 50 pessoas a cada 4 reais).
- Alcance Total do Rádio: Multiplicamos a eficiência pelo valor investido (X).
- Expressão Rádio: (50X) / 4.
2. Analisando os Panfletos (Investimento Y)
- Dados: 1.000 pessoas custam R$ 180.
- Montagem da Fração (Pessoas / Reais): 1000 / 180.
- Simplificação Estratégica:
- Cortar os zeros finais: Fica 100 / 18.
- Dividir em cima e embaixo por 2:
- 100 dividido por 2 = 50.
- 18 dividido por 2 = 9.
- Resultado da Eficiência: 50/9 (Alcança 50 pessoas a cada 9 reais).
- Alcance Total Panfletos: Multiplicamos a eficiência pelo valor investido (Y).
- Expressão Panfletos: (50Y) / 9.
3. A Montagem do Quebra-Cabeça (Expressão Final)
A questão pede o alcance total da campanha. Basta somar os dois resultados que encontramos.
- Alcance Total = (Alcance Rádio) + (Alcance Panfletos)
- Expressão Final: 50X/4 + 50Y/9
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
A Inversão da Fração: Muitos alunos montam a fração como (Custo / Pessoas), resultando em 4X/50. Isso calcularia o custo total, não o número de pessoas. Lembre-se sempre: o número que representa o resultado desejado (pessoas) deve ficar em cima!
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Precisamos de uma expressão que tenha 50/4 multiplicando o X e 50/9 multiplicando o Y.
- Expectativa: (50X / 4) + (50Y / 9).
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos analisar as opções procurando nossa fórmula.
Alternativa (A): (50X / 4) + (50Y / 9).
Análise de Correspondência: Perfeita. As frações simplificadas (1500/120 = 50/4 e 1000/180 = 50/9) estão corretas e multiplicadas pelas variáveis certas.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
Alternativa (B): (50X / 9) + (50Y / 4).
O Diagnóstico do Erro: Troca de Variáveis/Denominadores. O aluno trocou as bolas: usou a eficiência dos panfletos (9) para o rádio (X) e vice-versa.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa (C): (4X / 50) + (4Y / 50).
O Diagnóstico do Erro: Inversão da Razão e Confusão. O aluno inverteu a fração (colocou custo em cima) e ainda misturou os números. Totalmente perdido.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa (D): (50 / 4X) + (50 / 9Y).
O Diagnóstico do Erro: Erro Algébrico Grave. Colocar a variável (X ou Y) no denominador significa que quanto mais você gasta, menos pessoas você alcança (proporção inversa). Isso não faz sentido comercial.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa (E): (50 / 9X) + (50Y / 4Y).
O Diagnóstico do Erro: Salada Mista. Misturou inversão, troca de valores e erros de álgebra.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é a Alternativa A.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Eficiência é o que você RECEBE dividido pelo que você PAGA. Pessoas em cima, dinheiro em baixo.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
O que acabamos de calcular é a base do ROI (Return on Investment) e do CPA (Custo por Aquisição) no Marketing Digital. Quando você faz anúncios no Google ou Instagram, o algoritmo faz exatamente essa conta: “Quantos cliques (Pessoas) eu consigo gerar com o orçamento diário (X) desse cliente?”. A matemática do ENEM é a matemática do dinheiro real.
