Questão 146, caderno cinza do ENEM PPL 2013

A logomarca de uma empresa de computação é um quadrado, AEFG, com partes pintadas como mostra a figura. Sabe-se que todos os ângulos agudos presentes na figura medem 45º e que AB = BC = CD = DE. A fim de divulgar a marca entre os empregados, a gerência decidiu que fossem pintadas logomarcas de diversos tamanhos nas portas, paredes e fachada da empresa. Pintadas as partes cinza de todas as logomarcas, sem desperdício e sem sobras, já foram gastos R$ 320,00.

O preço das tintas cinza, preta e branca é o mesmo. Considerando que não haja desperdício e sobras, o custo para pintar as partes pretas e o custo para pintar as partes brancas serão, respectivamente:

A) R$ 320,00 e R$ 640,00.

B) R$ 640,00 e R$ 960,00.

C) R$ 960,00 e R$ 1 280,00.

D) R$ 1 280,00 e R$ 2 240,00.

E) R$ 2 240,00 e R$ 2 560,00.

Resolução em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Geometria Plana (Área de quadrados e triângulos)
Propriedades de Triângulos Retângulos Isósceles (45-45-90)
Razão e Proporção

Tema/Objetivo Geral: Cálculo de custos com base na proporção entre áreas de uma figura geométrica.

Nível da Questão: Médio.

Por quê? A questão exige a habilidade de decompor uma figura complexa em unidades menores e idênticas para estabelecer uma proporção. Não é um cálculo direto, mas um exercício de raciocínio visual e geométrico.

Gabarito: Alternativa C.

Resumo: Ao decompor a figura em triângulos idênticos, descobre-se que a área preta é 3 vezes a área cinza, e a área branca é 4 vezes a área cinza. A partir do custo da área cinza, os demais custos são calculados proporcionalmente.

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Transcrição Essencial
“…o custo para pintar as partes pretas e o custo para pintar as partes brancas serão, respectivamente, …”

O que está sendo pedido
A questão pede para calcularmos dois valores: o custo para pintar toda a área preta e o custo para pintar toda a área branca, sabendo o custo da área cinza.

Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é descobrir a relação de proporção entre as áreas (cinza : preta : branca) e, a partir do custo conhecido da área cinza (R$ 320,00), calcular o custo das outras duas áreas.

🧠 Você notou a informação de que todos os ângulos agudos medem 45°? Essa é a chave de tudo! Isso nos diz que podemos dividir toda a figura em pequenos triângulos retângulos idênticos, como se fosse um quebra-cabeça.

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

Definição de Termos

Decomposição de Figuras: É uma estratégia para resolver problemas de área onde dividimos uma forma complexa em formas mais simples e fáceis de calcular (como quadrados, retângulos ou triângulos).
Unidade de Área: Em vez de calcular a área em cm² ou m², podemos usar uma das formas simples como uma “unidade”. Neste caso, o pequeno triângulo cinza no canto é a nossa unidade perfeita. Vamos chamá-lo de “T”.
Proporção Área-Custo: Como o preço das tintas é o mesmo, o custo de pintar uma área é diretamente proporcional ao tamanho dessa área. Se a Área Preta for 3 vezes a Área Cinza, o Custo da Preta também será 3 vezes o Custo da Cinza.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

Contextualização Simplificada 💬
Imagine que a logomarca é um grande mosaico feito de pequenas peças triangulares idênticas. As partes cinzas usam 4 dessas peças e custaram R$ 320,00 para pintar. Nossa missão é:

Contar quantas peças são usadas para formar as partes pretas.
Contar quantas peças são usadas para formar a parte branca.
Com base na contagem e no preço das peças cinzas, calcular o custo total das peças pretas e das peças brancas.

Estratégia Geral

Definir o triângulo cinza do canto como nossa unidade de área T.
Calcular o custo de pintar uma única unidade T.
Decompor as áreas preta e branca para descobrir quantos T cabem em cada uma.
Multiplicar o número de unidades T de cada cor pelo custo de uma unidade T.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

Passo a Passo Detalhado

1. Definir a Unidade e seu Custo:

A área cinza total é composta por 4 pequenos triângulos cinzas (um em cada canto do quadrado AEFG).
Vamos chamar a área de um desses triângulos de T. Portanto, a Área Cinza Total = 4T.
O custo para pintar a Área Cinza Total (4T) é R$ 320,00.
Custo de 1 unidade T = R$ 320,00 / 4 = R$ 80,00.

2. Decompor a Área Preta:

Observe uma das faixas pretas. Ela tem o formato de um trapézio. Podemos dividi-la em 3 triângulos idênticos à nossa unidade T. (Visualize uma linha horizontal e uma vertical dentro da faixa preta).
Como existem 4 faixas pretas, a Área Preta Total = 4. (3T) = 12T.

3. Calcular o Custo da Área Preta:

Custo Preto = (Número de unidades T na área preta) × (Custo por unidade T)
Custo Preto = 12 × R$ 80,00 = R$ 960,00.

4. Decompor a Área Branca:

A área branca é um quadrado no centro. Podemos dividi-lo em unidades T também.
Método 1 (Contagem): Se você quadricular toda a figura, verá que o quadrado branco central é composto por 16 triângulos T. Portanto, a Área Branca Total = 16T.
Método 2 (Subtração): O quadrado grande AEFG tem um lado que corresponde a 4 vezes a base de um triângulo T. A área total do quadrado grande é de 32T (pode ser visualizado como um grid 8×4 de triângulos).
Área Branca = Área Total – Área Cinza – Área Preta
Área Branca = 32T – 4T – 12T = 16T.

5. Calcular o Custo da Área Branca:

Custo Branco = (Número de unidades T na área branca) × (Custo por unidade T)
Custo Branco = 16 × R$ 80,00 = R$ 1.280,00.

Verificação Intermediária 🧐
Os custos encontrados são:

Custo Preto: R$ 960,00
Custo Branco: R$ 1.280,00
A pergunta pede os custos “respectivamente”, então a resposta deve ser (960, 1280).

Possível armadilha 🚨
A principal armadilha é a intuição visual sem a decomposição. Alguém poderia “chutar” que a área preta é o dobro da cinza, ou que a branca é igual à preta. Somente a decomposição em unidades iguais garante a proporção correta (Cinza:Preta:Branca = 4:12:16, que simplifica para 1:3:4).

Fechamento e expectativa
Nossos cálculos nos levaram aos valores R$ 960,00 (preto) e R$ 1.280,00 (branco). Vamos procurar essa combinação nas alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

🔴 A) R$ 320,00 e R$ 640,00.
Incorreta. Sugere que a área preta é igual à cinza (1:1), e a branca é o dobro da cinza (2:1). Erro de proporção.

🔴 B) R$ 640,00 e R$ 960,00.
Incorreta. Sugere que a área preta é o dobro da cinza (2:1) e a branca é o triplo (3:1).

🟢 C) R$ 960,00 e R$ 1 280,00.
Correta. Corresponde exatamente aos nossos cálculos. Área preta é 3x a cinza (3 . 320 = 960) e área branca é 4x a cinza (4.320 = 1280).

🔴 D) R$ 1 280,00 e R$ 2 240,00.
Incorreta. Valores muito elevados.

🟡 E) R$ 2 240,00 e R$ 2 560,00.
A que mais confunde. Os valores são grandes, mas R$ 2.560,00 é o custo da área total (32T.80), e R$ 2.240,00 é o custo da área total menos a cinza. Poderia ser o resultado de um raciocínio confuso com a área total.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

Resumo do Raciocínio 🗒️
A solução foi encontrada ao decompor a figura inteira em triângulos retângulos idênticos, usando o triângulo cinza como unidade. Contando as unidades para cada cor, estabelecemos a proporção de áreas e, consequentemente, de custos, chegando aos valores corretos.

Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C, com custos de R$ 960,00 para as partes pretas e R$ 1.280,00 para as partes brancas.

Resumo Final para Revisão
Em problemas de geometria com proporções, procure a “peça de Lego” fundamental. Encontre uma forma simples que se repete e use-a para “construir” toda a figura. Isso transforma um problema de área em um problema de contagem.