Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo
3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m.
No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.
A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será
A) 10
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Regra de três simples, escalas, sistemas lineares.
Nível da Questão:
- Médio.
Gabarito:
- E.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomada do Comando:
O enunciado descreve dois treinos de corrida em dois circuitos de tamanhos diferentes em um parque. No primeiro dia, o corredor percorre 3 voltas no circuito maior e 2 no menor (totalizando 1.800 m), e depois 2 voltas no maior e 1 no menor (totalizando 1.100 m). No segundo dia, ele pretende percorrer 5.000 m fazendo um número inteiro de voltas, de modo que o total de voltas seja o maior possível.
🔹 O que o Comando Pede:
Determinar a soma do número de voltas que o corredor dará no segundo dia, mantendo a condição de que ele percorra exatamente 5.000 m e que o número total de voltas seja o máximo possível.
✔ Palavras-Chave:
“circuito maior”, “circuito menor”, “voltas”, “5.000 m”, “maior número de voltas”.
✔ Objetivo:
Encontrar o número de voltas em cada circuito que satisfaça a equação do total percorrido, priorizando as voltas no circuito menor (mais curto) para maximizar o número total de voltas.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Teóricos Fundamentais:
🔹 Escala e Proporcionalidade:
- A resolução dos sistemas lineares é utilizada para encontrar os comprimentos dos circuitos.
🔹 Regra de Três Simples:
- Permite converter medidas e estabelecer relações entre grandezas.
🔹 Sistema Linear:
- Um conjunto de equações que relaciona as voltas e as distâncias percorridas em cada circuito.
✔ Relação com o Problema:
Esses conceitos são aplicados para determinar os comprimentos dos circuitos a partir dos treinos do primeiro dia e, posteriormente, para estabelecer quantas voltas no circuito menor e no maior somam exatamente 5.000 m, maximizando o total de voltas.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Contexto da Questão:
O problema informa dois treinos distintos no primeiro dia que possibilitam encontrar o comprimento dos dois circuitos (maior e menor). Em seguida, a questão solicita que se encontre a combinação de voltas no segundo dia (números inteiros) que totalizem 5.000 m, priorizando o maior número de voltas.
🔹 Frases-Chave:
- “3 voltas no circuito maior e 2 voltas no menor = 1.800 m”
- “2 voltas no circuito maior e 1 volta no menor = 1.100 m”
- “No segundo dia… 5.000 m”
✔ Interpretação:
Utilizaremos as informações dos treinos do primeiro dia para encontrar os comprimentos dos circuitos, e depois resolveremos a equação para o segundo dia, maximizando o número total de voltas.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Etapa 1: Determinar os Comprimentos dos Circuitos
- Seja C₁ o comprimento do circuito maior e C₂ o do menor.
- Do primeiro treino: 3C₁ + 2C₂ = 1.800 m.
- Do segundo treino: 2C₁ + C₂ = 1.100 m.
Resolvendo o sistema:
- Multiplicamos a segunda equação por 2: 4C₁ + 2C₂ = 2.200 m.
- Subtraindo a primeira equação da equação acima:
- (4C₁ + 2C₂) – (3C₁ + 2C₂) = 2.200 – 1.800
- C₁ = 400 m.
- Substituindo C₁ na segunda equação:
- 2×400 + C₂ = 1.100
- 800 + C₂ = 1.100
- C₂ = 300 m.
📌 Etapa 2: Determinar a Combinação de Voltas para 5.000 m
- Seja x = número de voltas no circuito maior (400 m) e y = número de voltas no circuito menor (300 m).
- A equação para o segundo dia é: 400x + 300y = 5.000 m.
- Como desejamos maximizar o número total de voltas (x + y), devemos priorizar as voltas no circuito menor, que tem comprimento menor.
Teste a combinação:
- Se x = 2, então:
- 2×400 = 800 m, e resta 5.000 – 800 = 4.200 m para ser percorrido no circuito menor.
- y = 4.200 / 300 = 14 voltas.
- Assim, o total de voltas = 2 + 14 = 16 voltas.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Alternativas:
- A) 10
- B) 13
- C) 14
- D) 15
- E) 16
✅ Alternativa Correta – E:
- Explicação: A combinação encontrada (2 voltas no circuito maior e 14 voltas no circuito menor) totaliza 16 voltas e exatamente 5.000 m, atendendo à condição de maximizar o número de voltas.
❌ Análise das Alternativas Incorretas:
- A, B, C e D: Nenhuma dessas alternativas atinge a soma de voltas que, somada ao total de 5.000 m, respeita a maximização exigida.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
Utilizando os treinos do primeiro dia, determinamos que o circuito maior mede 400 m e o menor 300 m. Para percorrer 5.000 m no segundo dia e maximizar o número de voltas, optou-se por 2 voltas no circuito maior (2×400 = 800 m) e 14 voltas no circuito menor (14×300 = 4.200 m), totalizando 16 voltas.
✅ Reafirmação da Alternativa Correta:
A alternativa E (16) é a correta, pois a soma de 2 + 14 voltas corresponde exatamente à condição do problema.
🔍 Resumo Final:
🔍 Portanto, a soma do número de voltas realizadas nos dois circuitos, para percorrer 5.000 m no segundo dia, é 16, confirmando a alternativa E.
