Uma torneira gotejando diariamente é responsável por grandes desperdícios de água. Observe o gráfico que indica o desperdício de uma torneira:
Se y representa o desperdício de água, em litros, e x representa o tempo, em dias, a relação entre x e y é:
A) y = 2x
B) y = 1/2x
C) y = 60x
D) y = 60x + 1
E) y = 80x + 50
Resolução em Texto
📚 Matórias Necessárias para a Solução da Questão
- Funções (Função Afim / Função de 1º Grau, Gráfico de uma Reta)
- Geometria Analítica (Coeficiente Angular da Reta)
- Interpretação de Gráficos Cartesianos
🎯 Tema/Objetivo Geral: Determinar a expressão algébrica (a lei da função) que representa a relação entre duas grandezas a partir de seu gráfico linear.
📊 Nível da Questão: Fácil.
Por quê? O gráfico é uma reta que passa pela origem, o que caracteriza uma função linear simples (y = ax). O aluno precisa apenas escolher um ponto qualquer da reta, extrair suas coordenadas (x, y) e usá-las para encontrar o coeficiente ‘a’. O cálculo é uma divisão básica.
✅ Gabarito: Alternativa C.
Resumo: O gráfico é uma reta que passa pela origem (0,0), indicando uma relação de proporcionalidade direta do tipo y = kx. Para encontrar a constante de proporcionalidade ‘k’, podemos pegar o ponto final da reta, que é (x=10, y=600). Substituindo na equação, temos 600 = k . 10, o que nos dá k = 60. Portanto, a relação é y = 60x.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Se y representa o desperdício de água, em litros, e x representa o tempo, em dias, a relação entre x e y é…”
O que está sendo pedido?
A questão pede para encontrarmos a fórmula matemática (a lei da função) que descreve a reta mostrada no gráfico.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é olhar para o gráfico, identificar o tipo de função que ele representa e usar os pontos visíveis na reta para calcular os coeficientes e montar a equação correta no formato y = …x…
🧠 A linha do gráfico é uma reta? Ela passa pelo ponto (0,0)? Se a resposta para as duas perguntas for “sim”, que tipo de fórmula simples descreve essa relação?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Função Afim (ou de 1º Grau):
- O que é: É uma função cuja representação gráfica é uma reta. Sua fórmula geral é y = ax + b.
- Coeficiente ‘a’ (Coeficiente Angular): É a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta. Ele nos diz “quantos ‘y’ aumentam para cada ‘x’ que aumenta”. Pode ser calculado como a = Δy / Δx.
- Coeficiente ‘b’ (Coeficiente Linear): É o valor de y quando x = 0. Graficamente, é o ponto onde a reta corta o eixo y.
- Função Linear (Caso Particular da Função Afim):
- O que é: É uma função afim onde o coeficiente b = 0. Sua fórmula é y = ax.
- Característica Gráfica: Sua representação é sempre uma reta que passa pela origem (0,0). Isso indica uma relação de proporcionalidade direta entre x e y. O nosso gráfico é um exemplo perfeito disso.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
O gráfico mostra o seguinte: quanto mais o tempo passa (eixo x), mais água é desperdiçada (eixo y). Essa relação é perfeitamente constante, formando uma linha reta. A gente pode ver que em 0 dias, o desperdício é 0 litros. Em 10 dias, o desperdício é 600 litros. A pergunta é: qual é a “regra matemática” que conecta os dias com os litros? Se a gente sabe a quantidade de dias, qual conta a gente faz para descobrir a quantidade de litros desperdiçados?
Estratéia Geral 🗺️
- Identificar que o gráfico é uma reta que passa pela origem, logo, a função é do tipo y = ax.
- Escolher um ponto qualquer do gráfico (diferente da origem) para encontrar o valor de ‘a’.
- Substituir os valores de x e y do ponto escolhido na fórmula y = ax.
- Resolver a equação para encontrar ‘a’.
- Escrever a fórmula final.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Analisar a Forma do Gráfico:
O gráfico é uma reta que passa pelo ponto (0, 0). Isso significa que a relação entre o desperdício (y) и o tempo (x) é uma função linear, cuja fórmula é y = kx (usaremos ‘k’ como a constante de proporcionalidade, como na sua solução).
2. Extrair um Ponto do Gráfico:
Para encontrar o valor de ‘k’, precisamos de um par de valores (x, y) da reta. O ponto mais claro e fácil de ler é o ponto final:
- Quando o tempo (x) é 10 dias, o desperdício (y) é 600 litros.
- Temos o ponto (10, 600).
3. Calcular a Constante de Proporcionalidade (k):
Vamos substituir os valores do nosso ponto na fórmula y = kx.
- 600 = k ⋅ 10
- Para isolar ‘k’, passamos o 10, que está multiplicando, para o outro lado, dividindo:
k = 600 / 10
k = 60
4. Escrever a Equação Final:
Agora que sabemos que a constante é 60, podemos escrever a relação completa entre y e x:
y = 60x
Verificação com outro ponto (opcional):
Vamos pegar o ponto x=5. No gráfico, a reta passa pela altura y=300.
Usando a fórmula: y = 60 . 5 = 300. Bate perfeitamente!
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha seria um erro na leitura do gráfico ou na divisão. Outro erro seria não reconhecer que a reta passa pela origem e tentar usar uma fórmula mais complexa (y=ax+b) sem necessidade, o que poderia levar a confusão.
O cálculo nos levou à fórmula y = 60x. Agora, vamos procurar essa equação nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) y = 2x
Incorreta.
🔴 B) y = 1/2x
Incorreta.
🟢 C) y = 60x
Correta. Corresponde exatamente à relação que encontramos.
🔴 D) y = 60x + 1
Incorreta. O “+1” significaria que a reta corta o eixo y no ponto 1, mas ela corta no 0.
🔴 E) y = 80x + 50
Incorreta. Coeficientes errados.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O gráfico que relaciona o desperdício de água (y) com o tempo (x) é uma reta que passa pela origem, caracterizando uma função linear da forma y = kx. Para determinar a constante de proporcionalidade ‘k’, utilizamos um ponto visível do gráfico, como (10, 600). Substituindo esses valores na equação (600 = k ⋅ 10), encontramos que k = 60. Portanto, a expressão que descreve a relação entre as grandezas é y = 60x.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a C.
Resumo Final para Revisão
Lembre-se: Reta que passa na origem → y = kx. Para achar o ‘k’, basta pegar qualquer ponto (x,y) da reta e calcular k = y/x. É a forma mais rápida de encontrar a lei de uma função linear.
