Pedro ganhou R$ 360 000,00 em uma loteria federal e resolveu dividir integralmente o prêmio entre os seus três filhos, Ana, Renato e Carlos, de forma que cada um receba uma quantia que seja inversamente proporcional às suas idades.
Sabendo que Ana tem 4 anos, Renato, 5 anos e Carlos, 20 anos, eles receberão, respectivamente:
A) R$ 54 000,00; R$ 216 000,00 e R$ 90 000,00.
B) R$ 90 000,00; R$ 54 000,00 e R$ 216 000,00.
C) R$ 216 000,00; R$ 90 000,00 e R$ 54 000,00.
D) R$ 180 000,00; R$ 144 000,00 e R$ 36 000,00.
E) R$ 180 000,00; R$ 120 000,00 e R$ 60 000,00.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Razão e Proporção, Divisão Inversamente Proporcional)
- Álgebra (Equações de 1º Grau, MMC)
🎯 Tema/Objetivo Geral:
Resolução de um problema de divisão de um valor em partes inversamente proporcionais a números dados.
📊 Nível da Questão: Médio.
Por quê? A questão exige o conhecimento do método de divisão inversamente proporcional, que é um pouco mais complexo que a divisão direta e envolve o trabalho com frações e o cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC).
✅ Gabarito: Alternativa D.
Resumo:
A divisão de um valor em partes inversamente proporcionais às idades 4, 5 e 20 é equivalente a dividi-lo em partes diretamente proporcionais aos inversos dessas idades (1/4, 1/5 e 1/20). Ao encontrar a constante de proporcionalidade (k) e aplicá-la, calcula-se o valor que cada filho receberá.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Transcrição Essencial:
“…dividir integralmente o prêmio […] de forma que cada um receba uma quantia que seja inversamente proporcional às suas idades.”
O que está sendo pedido?
A questão pede para calcular o valor que cada um dos três filhos (Ana, Renato e Carlos) receberá do prêmio de R$ 360.000,00, seguindo a regra da proporção inversa às suas idades.
Objetivo Cristalino:
Aplicar o método de divisão inversamente proporcional para encontrar as três parcelas do prêmio.
🧠 Palavra-chave: inversamente proporcional.
Isso significa: quanto menor a idade, maior o prêmio. O caçula recebe mais, e o mais velho recebe menos.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
🔖 Definição de Termos:
- Divisão Inversamente Proporcional: dividir N em partes inversamente proporcionais a a, b, c é o mesmo que dividir em partes diretamente proporcionais a 1/a, 1/b, 1/c.
- Método da Constante de Proporcionalidade (k):
As partes que Ana (Pₐ), Renato (Pᵣ) e Carlos (P꜀) receberão podem ser escritas como:
Pₐ = k / 4
Pᵣ = k / 5
P꜀ = k / 20
E a soma deve ser igual ao total:
Pₐ + Pᵣ + P꜀ = 360.000
Ou seja:
(k/4) + (k/5) + (k/20) = 360.000
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada:
Um pai vai dividir R$ 360 mil entre seus três filhos de 4, 5 e 20 anos. Mas como a regra é inversa, o mais novo ganha mais e o mais velho ganha menos.
🗺️ Estratégia Geral:
- Montar a equação da soma das partes.
- Calcular o MMC dos denominadores (4, 5, 20).
- Encontrar o valor de k.
- Dividir k pela idade de cada filho para descobrir os valores finais.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
👣 Passo a Passo Detalhado:
- Montar a equação:
A = k/4
R = k/5
C = k/20
(k/4) + (k/5) + (k/20) = 360.000
- Resolver para encontrar k:
MMC(4, 5, 20) = 20.
(5k/20) + (4k/20) + (1k/20) = 360.000
(5k + 4k + k)/20 = 360.000
10k / 20 = 360.000
k/2 = 360.000
k = 720.000
- Calcular o valor para cada filho:
- Verificação:
180.000 + 144.000 + 36.000 = 360.000 ✔️
🚨 Possível Armadilha:
Dividir de forma diretamente proporcional (o que inverteria a lógica).
Outro erro comum: errar o MMC ou a soma das frações.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) R$ 54.000; R$ 216.000; R$ 90.000 → incorreta.
🔴 B) R$ 90.000; R$ 54.000; R$ 216.000 → incorreta.
🔴 C) R$ 216.000; R$ 90.000; R$ 54.000 → incorreta.
🟢 D) R$ 180.000; R$ 144.000; R$ 36.000 → correta.
🔴 E) R$ 180.000; R$ 120.000; R$ 60.000 → incorreta.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📝 Resumo do Raciocínio:
Dividimos o prêmio de R$ 360.000,00 em partes inversamente proporcionais às idades 4, 5 e 20.
Montamos a equação:
(k/4) + (k/5) + (k/20) = 360.000
Resolvendo, encontramos k = 720.000.
Substituindo:
- Ana → R$ 180.000
- Renato → R$ 144.000
- Carlos → R$ 36.000
🏅 Gabarito Reafirmado: Alternativa D.
Resumo Final para Revisão:
Na divisão inversamente proporcional, basta usar os inversos dos números dados. Depois, aplicar a constante k para encontrar os valores. Esse método evita confusões e garante uma solução sistemática.
